Reja: Vektorning ta’rifi, asosiy tushunchalar

II SEMESTR
1-MAVZU. VEKTORLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR
Reja:
1. Vektorning ta’rifi, asosiy tushunchalar
2. Vektorlar ustida amallar
3. Vektorni songa ko’paytirish.
4. Fazodagi bazis haqida
Tayanch iboralar: vektor, kollinear vektorlar, o`ng uchlik, chap uchlik, vektorlarning vektor ko`paytmasi.
1. Vektorning ta’rifi, asosiy tushunchalar
Matematika, fizika, mexanika, elektrotexnika, radiotexnika va shunga o’xshash soxalarda ikki xil miqdorlar uchrab turadi. Bu miqdorlarning bir turi uzining son qiymati bilan to’l aniqlanadi. Masalan, shaklning yuzi, jismning xajmi, temperatura, elektr kattalik, zichlik kabi miqdorlar.Bunday miqdorlar skalyar miqdorlar deyiladi. Ikkinchi tur miqdorlar o’zining son qiymati bilan to’la aniqlanmaydi, ularni to’la aniqlash uchun son qiymatlari bilan bir qatorda yo’nalishlari xam berilgan bo’lishi kerak. Masalan, kuch, tezlik, tezlanish kabi miqdorlar.
Vektorlar – uzunlik va yo’nalishga ega bo’lgan miqdorlardir. Vektorlarning uzunligi uning moduli yoki absolyut miqdori deyiladi. Nul vektorning o’ziga xos xususiyatlari shundan iboratki, uning uzunligi nulga teng, u yo’nalishga ega emas.
Nulga teng bo’lmagan vektorlar yo’naltirilgan kesmalar ko’rinishida ifodalanadi va kabi yoziladi, bunda - berilgan vektorning boshi, – uning oxiridan iborat. vektorning uzunligi (moduli) | | kabi yoziladi. Bundan buyon vektorlar yoki ikkita harflar bilan (masalan ), yoki bitta harf bilan (masalan, ) belgilanadi.
1-ta’rif. Agar ikkita nulga teng bo’lmagan va vektorlarning uzunliklari teng, va ular bir xil yo’nalishga ega bo’lsalar, , bu vektorlar o’zaro teng deyiladi va kabi yoziladi.
2-ta’rif. Agar ikkita nulga teng bo’lmagan va vektorlarning uzunliklari teng, , va ular qarama-qarshi yo’nalishlarga ega bo’lsalar, bu vektorlar qarama-qarshi deyiladi va =- kabi yoziladi.
3-ta’rif. Agar va vektorlar bitta to’ђri chiziqda yoki parallel to’ђri chiziqlarda yotsalar, ular kollinear deyiladi.
4-ta’rif. Bitta tekislikda yoki bir necha parallel tekisliklarda yotgan uchta yoki undan ortiq vektorlar komplanar vektorlar deyiladi.
Fazoda ikki, uch, yoki ulardan ko’p vektorlar berilgan bo’lsin. Ularning uzunliklarini o’zgartirmasdan, barcha vektorlarni o’z-o’ziga parallel ravishda bitta umumiy nuqtaga ko’chiramiz. Vektorlar ustida bunday amal – vektorlarni umumiy boshlanђich nuqtaga keltirish deyiladi.
1-masala. parallelogramm berilgan. Parallelogrammning tomonida: ) teng; ) qarama-qarshi vektorlar ko’rsatilsin.
Ye ch i l i sh i. Parallelogrammning qarama-qarshi tomonlari teng va parallel bo’lganligidan, javoblar quyidagicha bo’ladi (6.1-chizma):
2. Vektorlar ustida amallar
Fazodagi vektorlarni qo’shish, ayirish va vektorni skalyarga ko’paytirish amallari tekislikda vektorlar ustidagi shunday amallarga o’xshashdir.
1. Ikkita, va vektorlarni yoki uchburchak qoidasi bo’yicha, yoki parallelogramm qoidasi bo’yicha qo’shish mumkin.
) Uchburchak qoidasi. vektorning boshini nuqtaga joylashtirib, vektorning boshini nuqtaga joylashtiramiz (6.2-chizma) va vektorni yasaymiz. Unda vektorning boshini vektorning oxiri bilan tutashtiruvchi vektor, va vektorlarning yiђindisidan iborat bo’ladi:
.
Parallelogramm qoidasi. Berilgan ikkita, va vektorlarning boshini bitta umumiy nuqtaga keltiramiz va vektorlarni yasaymiz (6.3-chizma). So’ngra, va vektorlarni tomonlar sifatida qarab, parallellogrammni yasaymiz. Unda diagonalda yotuvchi va umumiy nuqtadan chiquvchi vektor va vektorlarning yiђindisidan iborat bo’ladi:
= +

Ko’pburchak qoidasi. Bir nechta, , , vektorni qo’shish uchun, har bir keyingi vektorning boshini undan oldingi vektorning oxiriga keltiramiz (6.4-chizma). Unda birinchi vektorning boshini oxirgi vektorning oxiri bilan tutashtiruvchi vektor berilgan , , vektorlarning yiђindisi deyiladi.
.
Vektorlarni qo’shish amali quyidagi xossalarga ega:
Qo’shishning o’rin almashtirish xossasi:
Qo’shishning guruhlash xossasi:
.
2. Vektorlarni ayirish. Ikkita va vektorlarning ayirmasi deb, shartni qanoatlantiruvchi vektorga aytiladi va u kabi yoziladi.
Shunday qilib, va vektorlarning ayirmasini topish uchun, vektorning oxiriga vektorning oxirini ko’chirish lozim. Unda, birinchi vektorning boshini ikkinchi vektorning boshi bilan tutashtiruvchi vektor, va vektorlarning ayirmasidan iborat bo’ladi: . va vektorlarning ayirmasini - = + tenglikdan topish mumkin. Buning uchun, va vektorlarni nuqtaga keltirib, ularda parallelogramm yasaymiz (6.6-chizma). So’ngra - vektorni yasaymiz va va - vektorlarda parallelogramm yasaymiz.
Unda deb yozish mumkin. Nixoyat, vektorni o’ziga parallel ravishda nuqtaga ko’chiramiz. Unda bo’ladi.
Shunday qilib, agar va vektorlarda parallelogramm yasalgan bo’lsa, uning bitta diagonalida ularning yiђindisi vektori, ikkinchisida esa, ularning ayirmasi vektori yotadi:
.
3.Vektorni songa ko’paytirish
5-ta’rif. vektorning songa ko’paytmasi deb: 1) va 2) bo’lganda bo’lganda shartlarni qanoatlantiruvchi vektorga aytiladi, bunda -vektorlarning yo’nalishdoshligini, - vektorlar qarama-qarshi yo’nalganligini anglatadi.
Vektorning songa ko’paytmasi quyidagi xossalarga ega:

Bu xossalarning isbotlari planimetriyadagi shu kabi xossalarning isbotiga o’xshashdir.
tenglikni va vektorlar kollinearligining zaruriy va yetarli sharti sifatida qarash mumkin.
4. Fazodagi bazis haqida
1.Vektorning koordinatalari. Biz tekislikdagi bazisni kollinear bo’lmagan vektorlar jufti shaklida kiritgan edik. Unda har qanday uchinchi vektorni bazisning ikkita vektori orqali ifodalash mumkin bo’lgan edi.
Fazodagi vektorlarning yuqoridagiga o’xshash xossasini qarab chiqamiz. Fazoda uchta komplanar bo’lmagan vektorlar berilgan bo’lsin. Bunda ixtiyoriy to’rtinchi vektorni va vektorlar orqali ifodalash mumkinligini isbotlaymiz.
, vektorlarni umumiy nuqtaga keltiramiz (6.7-chizma). vektorlar komplanar bo’lmaganligidan vektorlar juftining har biri tekislikni aniqlaydi. uch orqali mos ravishda , va tekisliklarga parallel tekisliklar o’tkazamiz. Natijada prizmani hosil qilamiz. Vektorlarni qo’shish qoidasi bo’yicha

deb yozish mumkin. bo’lganligidan, ikki vektorning kollinearlik shartiga ko’ra, deb yozish mumkin. Shunga o’xshash, va munosabatlardan,
va
bo’lishi kelib chiqadi. Bu ifodalarni o’rniga keltirib qo’yib, vektor uchun
(1)
tenglikni hosil qilamiz.
(1) tenglik vektorning uchta komplanar bo’lmagan vektorlar bo’yicha yoyilmasi deyiladi. Bu holda vektorlar fazoda bazis hosil qiladi, deyishadi, koeffisiyentlar esa, vektorning bu bazisdagi koordinatalari deyiladi va u ( ) kabi yoziladi. (1) yoyilmadagi qo’shiluvchilar vektorning (1) yoyilmasini tashkil etuvchilar deyiladi.
Berilgan bazisda vektor yoyilmasining yagonaligini isbotlaymiz. vektorning (1) yoyilmasidan boshqa, yana koeffisiyentlari boshqa bo’lgan ,
(2)
yoyilmasi ham mumkin bo’lsin.
Modomiki, yoyilmalar har xil ekan, ularning koeffisiyentlari uchun

shartlardan hyech bo’lmaganda bittasi bajariladi. (1) tenglikdan (2) tenglikni ayirib,
(3)
munosabatni olamiz. (3) dan bo’lganda vektorni va vektorlar orqali quyidagicha ifodalash mumkin:
= (4)
Bunday yoyilma esa, faqat , , vektorlar komplanar bo’lganda mumkin bo’ladi, bu esa, , , vektorlarning komplanar emasligi shartiga ziddir. Demak, (3) tenglik, faqat va bo’lgandagina o’rinli bo’ladi. (1) yoyilmaning yagonaligi isbotlandi.
Mavzuni o’zlashtirish darajasini tekshirish va mustahkamlash (10 daqiqa). Mavzu bo’yicha asosiy tushunchalar va tasdiqlar o’z ifodasini topgan o’z – o’zini tekshirish savollari va muammoli topshiriqlardan ba’zilari taklif etiladi va talabalarning javoblari eshitiladi, so’ngra, mavzu bo’yicha o’z– o’zini tekshirish savollariga javoblar yozish va muammoli topshiriqlarni bajarish talabalarga uyga vazifa sifatida beriladi (ular ma’ruza matnining oxirida keltirilgan).
O’z-ozini tekshirish savollari
Vektor deb nimaga aytiladi?
Vektorlar ustnda qanday amallar bor ?
Qanday vektorlar kollinear, komplanar, teng deb ataladi?
Vektorning o’qqa proyeksiyasi nima?
1- ma’ruza bo’yicha muammoli topshiriqlar
1. parallelogramm va vektorlarda yasalgan va -parallelogramm va diagonallarining kesishish nuqtasi bo’lsin. va vektorlar va vektorlar orqali ifodalansin.

qo’shish amali quyidagi xossalarga ega:

Vektorlarni qo’shishning o’rin almashtirish xossasi isbotlang .
Vektorlarni qo’shishning guruhlash xossasini isbotlang:
.
Ma’ruzada foydalanilgan va keltirilgan atamalarning
GLOSSARIYSI
O’zaro teng vektorlar- agar ikkita nulga teng bo’lmagan va vektorlarning uzunliklari teng, va ular bir xil yo’nalishga ega bo’lsalar, , bu vektorlar o’zaro teng deyiladi va kabi yoziladi.
Qarama-qarshi vektorlar- agar ikkita nulga teng bo’lmagan va vektorlarning uzunliklari teng, , va ular qarama-qarshi yo’nalishlarga ega bo’lsalar, bu vektorlar qarama-qarshi deyiladi va =- kabi yoziladi.
Kollinear vektorlar- agar va vektorlar bitta to’g’ri chiziqda yoki parallel to’g’ri chiziqlarda yotsalar, ular kollinear deyiladi.
Komplanar vektorlar- bitta tekislikda yoki bir necha parallel tekisliklarda yotgan uchta yoki undan ortiq vektorlar komplanar vektorlar deyiladi.

1- ma’ruza uchun Klaster

VEKTORLAR USTNDA AMALLAR

KOMPLANAR VEKTORLAR

KOLLINEAR VEKTORLAR

VEKTOR

TENG VEKTORLAR

QARAMA-QARSHI VEKTORLAR