Reja: Trigonometrik funktsiyalar sistemasining ortogonalligi

Furye qatori va uning tadbiqlari

Reja:
1. Trigonometrik funktsiyalar sistemasining ortogonalligi.

2. Eyler-Furye formulalari.

3. Ixtiyoriy davrli trigonometrik qator.

4.Furye qatori.

5. Uzluksiz funktsiya uchun Furye qatori.

6. Juft va toq funktsiyalar uchun Furye qatori.
1. TRIGONOMETRIK FUNKTSIYALAR SISTEMASINING ORTOGONALLIGI

Biz quyida va funktsiyalar sistemasining ortogonalligini qaraymiz.

Tarif: Agar ikkita f(x) va funktsiyalar ko`paytmasining chegaralari a va b dan iborat bo`lgan integrali nolga teng bo`lsa, bu funktsiyalar (a, b) oraliqda ortogonal deyiladi.

Teorema. Quyidagi

1, cos x , cos 2x, cos 3x,…, sin x, sin 2x, sin 3x,… (1)

sistemadan olingan ixtiyoriy ikkita har xil funktsiyalar (- ) oraliqda ortogonal bo`ladi, ya`ni:

(2)

(3)

. (4)

Shuningdek, . (5)

Bunda m va n lar ixtiyoriy natural sonlar bo`lib, m ≠ n dir.

Agar (1) sistemadagi ikkita har xil funktsiyalar o`rniga bir xil funktsiyalar olinsa, u holda, birinchi funktsiyadan tashqari barcha funktsiyalarning – va oraliqda olingan integrali dan iborat bo`ladi. Birinchi funktsiyaning integrali esa 2 dir, ya`ni:

, (6)

(7)

(8)

Bunda n = 1, 2, 3,… dir.

(7) va (8) formulalar

va

almashtirishlar yordamida hosil qilinadi. Yuqoridagi (2)-(8) formulalar o`zunligi 2 dan iborat bo`lgan ixtiyoriy oraliqlar uchun o`rinlidir.

Agar berilgan biror funktsiyalar sistemasida har bir juft funktsiya ortogonal bo`lsa, u holda, shu sistemaning o`zi ham ortogonal sistema bo`ladi.

1-misol. (- , ) oraliqda f(x)=sin5x va (x)=cos2x funktsiyalarning ortogonalligini tekshiring.

Yechilishi: Berilgan funktsiyalar ko`paytmasini (- , ) oraliqda integrallaymiz:

Bunda cos x funktsiyaning juft ekanligi hisobga olindi.

2-misol. (- , ) oraliqda f (x) =sin2x va f (x) =sin4x funktsiyalarning ortogonalligini tekshiring.

Yechilishi:

Demak, berilgan funktsiyalar ortogonal.

3-misol. oraliqda f(x)=sin2x va (x)=sin4x funktsiyalarning ortogonalligini tekshiring.

Yechilishi:

4-misol. (-2 , 0) oraliqda ikkita bir xil funktsiyalar ko`paytmasi cos²3x ning ortogonalligini tekshiring.

Yechilishi: