Режа: Тўпламлар ва уларнинг берилиши

Масалан, ва тўпламларда элементлар иккала тўпламда ҳам мавжуддир.
2-таъриф. тўпламнинг ҳар бир элементи тўпламда мавжуд, аксинча, тўпламнинг ҳар бир элементи тўпламда ҳам мавжуд бўлса, ва тўпламларни тенг (тенгкучли) деб атаб, буни ёки белги билан ифодалаймиз.
Демак, иккала ва тўпламлар аслида бир тўпламдир.
3-таъриф. Агар тўпламнинг ҳар бир элементи тўпламда ҳам мавжуд бўлса, у вақтда нинг қисм тўплами деб айтилади ва қуйидагича белгиланади.
ёки (1)
Масалан: 1) бутун сонлар ҳақиқий сонлар тўпламининг қисм тўпламини ташкил этади;
2) вилоятлар республика тўпламининг қисм тўпламини ташкил этади;
4-таъриф. тўпламнинг ҳамма элементлари тўпламда мавжуд бўлиб, шу билан бирга тўпламда га кирмаган элементлар ҳам бор бўлса, у вақтда - нинг хос қисм тўплами дейилади ва
ёки (2)
каби белгиланади.
Демак, ва бўлса, у вақтда
. (3)
(3) тенглик нинг ўзи ўзининг қисм тўплами бўлишини кўрсатади ва бу ҳолатни ифодалаш учун “ўзининг хосмас қисми” деган иборадан фойдаланамиз.
Масалан: тўплам учун , , тўпламларнинг ҳар қайси хос қисмдир.
Одатда, тўпламлар назариясида битта ҳам элементи бўлмаган тўпламлар билан иш кўришга тўғри келади.
Масалан: тенгламанинг ҳақиқий илдизлари бўш тўпламни ташкил қилади, чунки , яъни тенгламанинг ҳақиқий илдизлари мавжуд эмас.
5-таъриф. Битта ҳам элементга эга бўлмаган тўплам бўш тўплам деб аталади ва  символ билан белгиланади.  бўш тўплам ҳар қандай тўпламнинг қисм тўплами бўлади ва у ҳам нинг хосмас қисми дейилади.


2. Тўпламлар устида амаллар
ва тўпламлар берилган бўлсин.
6-таъриф. Берилган тўпламларнинг йиғиндиси ёки бирлашмаси деб, шу тўпламларнинг такрорланмасдан олинадиган ҳамма элементларидан тузилган ва каби белгиланадиган тўпламга айтилади.
Агар тўпламлар берилган бўлса, у ҳолда уларнинг йиғиндиси қуйидагича ёзилади:
(4)

1-шакл.