Reja: To`g`ri burchakli koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi Tinglamasi parametrik ko`rinishda berilgan yoy uzunligi hisoblansin Qutb koordinatalar

4. Hajmlarni hisoblash


1. Jismning hajmini parallel kesimlar yuzalari bo`yicha hisoblash

Fazoda x=a, x=b tekisliklar orasida joylashgan biror jism berilgan bo`lsin. Ox o`qiga perpendikulyar va nuqtalardan o`tuvchi har qanday tekisliklar bu jismni kesganda hosil bo`lgan kesimning yuzi S(x) ga t eng bo`lsin (31-chizma). U holda x=a, x=b tekisliklar orasidagi jismning hajmi formula bilan hisoblanadi.

28-misol. ellipsoid bilan chegaralangan jism hajmini hisoblang.
Yechish. Ellipsoidni Oy o`qiga perpendikulyar nuqtalardan o`tuvchi ixtiyoriy tekislik bilan kesilganda hosil bo`lgan kesimni qaraymiz (32-chizma).

Kesim tenglamasi. yoki bo`lsa, u holda , ya`ni yarim o`qlari bo`lgan ellipsga egabo`lamiz. Bu kesimni yuzi esa ga t eng. U holda (2) formulaga ko`ra:



3.2. Aylanish jismining hajmi

Asosi [a,b] bo`lgan, y=f(x) egri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli tarpetsiyani qaraymiz.Trapetsiyani Ox o`qi atrofida aylantirish natijasida hosil qilingan aylanish jismining hajmini aniqlaymiz (33-chizma). Parallel kesmalar bu yerda radiusi aylanayotgan egri chiziq Y ordinatasining moduliga teng bo`lgan doyiralardir. Demak, kesim: yuzi

(2) formulaga ko`ra aylanish jismning hajmini topamiz:

Xuddi shuningdek, egri chiziq, Oy o`q va y=c, y=d to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning Oy o`qi atrofida aylanishidan hosil bo`lgan jisim hajmi: (5) formula bilan hisoblanadi.

Agar egri chiziqli trapeisiya y=f(x) egri chiziq Ox o`q va x=a, x=b to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan bo`lsa, Oy o`q atrofida aylanishdan hosil bo`lgan jism hajmi. (6) formula bilan hisoblanadi.
Agar shakl egri chiziqlar va x=a, x=b to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan bo`lsa, Ox va Oy o`q atrofida aylanishdan hosil bo`lgan jisim hajimlari mos ravishda quyidagi (7) va formulalar bilan hisoblanadi.



29-misol.
y2=x parabolani Ox o`q atrofida aylantirishdan hosil bo`lgan sirt va x=h tekislik bilan chegaralangan jismning hajmini aniqlang. (34-chizma).
Yechish. (21) formulani qo`llanib, quyidagini topamiz.

Agar egri chiziq x=x(t), y=y(t) parametrik ko`rinishda berilgan bo`lsa, egri chiziqli trapetsyaning Ox o`q atrofida aylanishdan hosil bo`lgan jismning hajmi:

formula bilan hisoblanadi.