Reja: Tenglamalar haqida qisqacha tushuncha

1-misol.
а+х=а
2
х–1
tеnglаmаni х gа nisbаtаn yeching. 
Yechish.
а+1=а
2
x–х, а+1=x(a
2
–1); a+1=x(a–1)

(a+1)
1. Аgаr 
a 

 +1
bo’lsа, tеnglаmа 
1
1


a
x
yechimgа egа.
2. Аgаr 
a=1
bo’lsа, tеnglаmа 
0

x = 1
ko’rinishni оlаdi, bu hоldа u yechimgа 
egа emаs. 
3. Аgаr 
a=–1
bo’lsа, tеnglаmа 
–2х=1, 
2
1


х
ko’rinishni оlаdi, bu hоldа u 
tеnglаmа yechimgа egа.
Teng kuchli tenglamalar 
 
Ta’rif.
 
Agar berilgan ikkita tenglamalarning ikkalasi ham bir xil yechimlarga 
ega bo’lsa, ya’ni yechimlar to’plami ustma-ust tushsa, bunday holda bu tenglamalar 
teng kuchli tenglamalar deyiladi. 
Masalan, 
3
1
2
3
3
3
2
2
2
2







x
x
x
x
x
x
va 
1
2
3
3
2
2
2
2





x
x
x
x
Tenglamalarni yechishda ko‘p ishlatiladigan teng kuchli almashtirishlar 
quyidagilar: 
1
0
. 
)
(
)
(
x
g
x
f

ko‘rinishdagi tenglamaning ikkala tarafiga tenglamaning 
aniqlanish sohasiga tegishli 
x
ning barcha qiymatlarida aniqlangan 
)
(
x

ifoda 
qo‘shilsa, hosil bo‘lgan 
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
g
x
x
f





tenglama berilgan tenglamaga 
teng kuchli tenglama bo‘ladi. 
2 -misol.
2
3
2



x
x
tenglama 
2
2
2
3
2





x
x
tenglama yoki 
0
2
3
2



x
x
tenglamaga teng kuchli. 
3-misol.
0
4
4


x
tenglama 
4
4
4
4
x
x
x



tenglamaga teng kuchli bo‘la 
olmaydi. Chunki 
4
x
ifoda 
x
ning tenglama aniqlanish sohasidagi manfiy qiymatlari 
uchun ma’noga ega emas. 
2
0
. 
)
(
x

ifoda berilgan 
)
(
)
(
x
g
x
f

tenglamaning aniqlanish sohasidagi 
barcha 
x
lar uchun aniqlanib, bu qiymatlarning hech birida nolga teng bo‘lmasin. U 
holda 
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
g
x
x
f





va 
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
g
x
x
f



tenglamalar berilgan tenglamaga 
teng kuchli tenglamalardir. 
4-misol.
3
9



x
x
tenglamaning ikkala tomonini 
3

x
ifodaga bo‘lish 
natijasida berilgan tenglamaga teng kuchli bo‘lgan tenglama hosil bo‘ladi, chunki 
3

x
ifoda 
x
ning tenglamaning aniqlanish sohasiga kirgan barcha qiymatlarida 
aniqlangan bo‘lib, bu qiymatlar uchun musbat. 

---

5-misol.
1
)
1
)(
1
(




x
x
x
tenglamaga 
0
1


x
shart qo‘yib uning ikkala 
tomonini 
1

x
ifodaga bo‘linsa, hosil bo‘lgan 
1
1


x
tenglama berilgan 
tenglamaga teng kuchli bo‘la olmaydi, chunki 
1

x
ifoda tenglama aniqlanish 
sohasiga kirgan 
x
ning 
-1
ga teng bo‘lgan qiymatida nolga teng. Lekin berilgan 
tenglama 







0
1
1
1
x
x
birlashmaga teng kuchli bo‘ladi. 
3
0
. Berilgan 
)
(
)
(
x
g
x
f

tenglamaning ikkala tomonini toq 
)
1
2
(

m
darajaga 
ko‘tarsak, hosil bo‘lgan 
1
2
1
2
)]
(
[
)]
(
[



m
m
x
g
x
f
tenglama berilgan tenglamaga teng 
kuchli bo‘ladi. 
6 -misol.
1
2
3


x
tenglama 
1
2


x
tenglamage teng kuchli. 
4
0
. Ikkala tarafi musbat bo‘lgan yoki ikkala tarafi ham manfiy bo‘lgan, yoki 
bitta tarafi nolga teng bo‘lgan 
)
(
)
(
x
g
x
f

tenglamalarning ikkala tarafini bir hil 
natural darajaga ko‘tarish natijasida hosil bo‘lgan 
n
n
x
g
x
f
)]
(
[
)]
(
[

tenglama 
berilgan tenglamaga teng kuchli bo‘ladi. 
7-misol.
3
1
2



x
x
tenglamaning ikkala tarafini kvadratga ko‘tarilsa, 
hosil bo‘lgan 
3
)
1
2
(
2



x
x
tenglama berilgan tenglamaga teng kuchli, chunki 
berilgan tenglamaning aniqlanish sohasi 
3

x
da tenglamaning ikkala tarafi ham 
musbat. 
8 -misol.
3
1



x
x
tenglamaning ikkala tarafini kvadratga oshirishdan 
hosil bo‘lgan 
2
)
3
(
1



x
x
tenglama berilgan tenglamaga teng kuchli emas, 
chunki masalan 
2

x
qiymatda 
0
3
,
0
1




x
x
bo‘lib, tenglamaning 
ikkala tarafi ikki hil ildizga ega. Hosil bo‘lgan 
2
)
3
(
1



x
x
tenglamani 
soddalashtirib 
0
10
6
2



x
x
Viyet formulalari qo‘llansa, 
5
,
2
2
1


x
x
ildizlar 
hosil bo‘ladi. Ulardan 
5
2

x
berilgan tenglamaning ildizi, 
2
1

x
esa tenglamaning 
chet ildizi bo‘ladi. 
Shunday qilib, ba’zan tenglamaning ikkala tarafidagi ifodalarni bir hil 
darajaga ko‘tarish berilgan tenglamaga teng kuchli tenglamaga olib kelmasa ham, 
tenglamalarni yechishda muhim ahamiyatga ega ekan. 
 
Qaytma tenglamalar 
0
...
1
2
2
3
2
3
1
2
1









a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
n
n
n
ko’rinishdagi 
butun algebraik 
tenglama 
qaytma tenglama
deyiladi. 
Bu ko’rinishdagi tenglamalarda boshidan va oxiridan bir xil uzoqlikda 
joylashgan koeffisiyentlar teng bo’ladi. 
Qaytma tenglamalarni 
k
n
2

va 
1
2


k
n
bo’lgan holatlarda qaraymiz. Buni 
misollarda keltirib o’tamiz. 
9-misol.
0
21
82
103
164
103
82
21
2
3
4
5
6







x
x
x
x
x
x
tenglamani 
yeching. 
Yechish.
Tenglamani 
3
x
ga bo’lamiz. 

---

0
1
21
1
82
1
103
164
103
82
21
3
2
2
3










x
x
x
x
x
x
0
164
1
103
1
82
1
21
2
2
3
3







 
















x
x
x
x
x
x
t
x
x


1
belgilash kiritsak,
t
t
x
x
t
x
x
3
1
,
2
1
3
3
3
2
2
2






ga ega bo’lamiz. 


0
40
82
21
0
40
82
21
2
2
3







t
t
t
t
t
t
, bundan 
0
1

t
va 
0
40
82
21
2



t
t
Tenglamani ildizlari 
3
10
,
3
4
,
0
3
2
1





t
t
t
Agar: 1) 
0
1

t
bo’lsa, 
0
1
0
1
2





x
x
x
tenglamaga ega bo’lamiz. 
i
x
i
x



2
1
,
2) 
3
4
2


t
bo’lsa, 
0
7
4
7
2



x
x
tenglamaga ega bo’lamiz. Uning ildizlari 
7
5
3
2
4
,
3
i
x



. 
3) 
3
10
3


t
bo’lsa, 
0
3
10
3
2



x
x
tenglamaga ega bo’lamiz. Uning ildizlari: 
3
,
3
1
6
5




x
x
J: 
,
,
2
1
i
x
i
x



,
7
5
3
2
3
i
x



,
7
5
3
3
4
i
x



3
,
3
1
6
5




x
x
10-misol.
0
1
4
3
3
2
3
4
5






x
x
x
x
x
tenglamani yeching. 
Yechish.
Bu tenglamaning daraja ko’rsatkichi toq son bo’lgani uchun, bitta 
ildizi 
1
1

x
ga teng, ya’ni 




0
1
5
2
5
1
2
3
4






x
x
x
x
x
,
1
1

x
0
1
5
2
5
2
3
4





x
x
x
x
Bu tenglamani 
2
x
ga bo’lamiz. 
0
2
1
5
1
2
2







 








x
x
x
x
t
x
x


1
belgilash kiritamiz. 
U holda 
2
1
2
2
2



t
x
x
ga teng bo’ladi. 
Belgilashlarni o’rniga qo’yib 
0
5
2


t
t
ga ega bo’lamiz. 
Bundan 
5
,
0
2
1



t
t
. 
Agar: 1) 
0
1

t
bo’lsa, 
1
0
1
3
,
2
2





x
x
2) 
5
1


t
bo’lsa, 
0
1
5
2



x
x
bo’lib, yechimi 
2
21
5
5
,
4



x
bo’ladi. 
J: 
i
x
i
x
x




3
2
1
,
,
1
2
21
5
,
2
21
5
5
4






x
x