Reja: Sanlı qatarlar

QATARLAR TEORIYASI HA’M ELEMENTLERI

REJA:

1. Sanlı qatarlar
2. Funktsional qatarlar

1. Sanlı qatar túsinigi

a1 + a2 +... + an +... = (1)
ańlatpaǵa sanlı qatar dep ataladı. Bul jerde a1, a2,.. ., an,... haqıyqıy sanlar bolıp, qatardıń ag’zalari, an – ag’za qatardıń n – ag’zasi yamasa ulıwma ag’zasi dep ataladı. Hár bir (1) sanlı qatar ushın
Sn = a1 + a2 +... + an, n = 1, 2, 3,... bólekli jıyındılar Sn qurıw múmkin.
Mısal. Bul

sanlı qatar ushın bólekli jıyındılar :

boladi
Eger (1) qatardıń bólekli jıyındıları izbe-izligi shekli limit S ga iye bolsa, bul sanǵa qatardıń jıyındısı dep ataladı :

(2)
Eger (2) shekli limitke iye bolsa, qatar jaqınlasiwshi, S - onıń jıyındısı dep ataladı.
Mısal. Joqarıda keltirilgen mısal ushın :

Sonday eken, berilgen sanlı qatar shekli limitke iye eken. Qatar jaqınlasiwshi.
Eger bolsa yamasa ámeldegi bolmasa, qatar uzaqlasiwshi dep ataladı.
rn = S - Sn sanǵa qatardıń qaldıg'i dep ataladı. Jaqınlasiwshi sanlı qatar ushın boladı hám sonday eken jetkiliklishe úlken n lar ushın S Sn orınlı boladı.
Mısallar :
1) Bul geometriyalıq progressiyaning Aĝzalarinan dúzilgen sanlı qatar bolsa jaqinlasiwshi, jıyındısı boladı, bolsa, uzaqlasiwshi bolıp tabıladı;
2) sanlı qatar garmonik qatar dep ataladı hám ol Uzaqlasiwshi qatar bolıp tabıladı.
3) Ulıwmalasqan garmonik qatar dep,
sanlı qatarǵa aytıladı jáne bul sanlı qatar p  1 de uzaqlasiwshi, p > 1 de Jaqinlasiwshi bolıp tabıladı.
2. jaqinlasiwshi sanlı qatarlardıń tiykarǵı ózgeshelikleri
Jaqinlasiwshi sanlı qatarlardıń tómendegi tiykarǵı ózgesheliklerin keltiremiz:
1. Eger qatar jaqinlasiwshi bolsa, ol halda qálegen shekli sanlar daǵı aĝzalarin tastap jiberiw yamasa oǵan shekli sandaǵı aĝzalardi qosıw nátiyjesinde payda bolǵan qatar da jaqınlasiwshi boladı.
2. Jaqinlasiwshi sanlı qatardıń hár bir aĝzasi, birdey sanına kòbeytilse, ol halda jıyındı sanına kóbeytiriledi; yaǵnıy
3. Eger hám qatarlar jaqinlasiwshi bolıp, jıyındıları uyqas túrde A hám B ga teń bolsa, ol halda sanlı jıyındısı da jaqinlasiwshi bolıp, jıyındısı A B ga teń.
4. (Jaqinlasiwshanliqtin zárúrli belgisi)
Eger sanlı qatar jaqinlasiwshi bolsa, onıń ulıwma aĝzasi ushın shárt atqarıladı. Lekin bul belgi jetkilikli belgi bola almaydı.
Eger bolsa, ol halda berilgen sanlı boladı.
Mısallar.

1. 
   bul sanlı qatar uzaqlasiwshi bolıp tabıladı, sebebi
   

2. 
   tómendegi
   

sanlı qatar uzaqlasiwshi qatar boladı, sebebi
joq.
3. Oń aĝzali sanlı qatarlar jaqınlasıwınıń belgileri
Oń aĝza sanlı qatarlar ushın tómendegi jaqınlasıw hám alıslaw belgilerin keltiremiz.
1) Salıstırıwlaw Belgisi. Oń aĝzali eki
a1 + a2 +... + an +... =
(3) b₁ + b₂ + ... + b_n + ... =
(4)
sanlı qatar ushın, qandayda bir N nomerden baslap a_n b_n an bn teńsizlik atqarılsa, ol halda :
a) (4) qatardıń jaqınlasıwınan (3) qatardıń da jaqınlasıwı ;
(3) qatardıń alıslasıwınan (4) qatardıń da alıslasıwı kelip shıǵadı.
b) (3) hám (4) sanlı qatarlardıń ulıwma aĝzalari ushın ámeldegi hám 0 < k < + Bolsa, ol halda (3) hám (4) sanlı qatarlar bir waqıtta yamasa jaqinlasiwshi yamasa uzaqlasiwshi boladı.
Mısal. qatardı jaqınlasıwǵa tekseriń.
Sheshiw. Berilgen qatardı uzaqlasiwshi garmonik Qatar menen
Salıstırıwlaymız. Onıń ushın hám k ekenligin tabamız. Bunnan berilgen qatar uzaqlasiwshañliĝi kelip shıǵadı.
2) Koshi belgisi. Eger oń aĝzali (3) qatar ushın
ámeldegi bolsa, bul qatar k < 1 bolǵanda jaqınlasadı, k > 1 de bolsa uzaqlasadi, k = 1 de qatardıń jaqınlasıw máselesi ashıq qaladı.
Mısal. Bul sanlı qatardı Koshi belgii járdeminde jaqınlasıwǵa tekseriń.
Sheshiw. Koshi belgisine kóre,

Sonday eken, k < 1 bolǵanı ushın berilgen qatar jaqınlasiwshi boladı.

3. 
   Dalamber belgii. Eger oń aĝzali (3) qatar ushın
   

Bolǵanı ushın berilgen sanlı qatar jaqınlasiwshi boladı.

4. 
   Kafeliń integral belgii. Eger (3) sanlı qatardıń aĝzalari oń hám o'speytuĝin bolıp x 1 bolǵanda anıqlanǵan, úzliksiz, oń hám o'speytuĝin funksiya ushın teńlikler orınlı bolsa, ol halda
   

1- tur xosmas integral jaqınlassa, berilgen qatar da jaqınlasadı, birdey emes integral uzoqlassa, sanlı qatar da uzoqlasadi.
Ulıwmalasqan garmonik qatar bul belgi járdeminde tekseriledi.
Mısal. Bul sanlı qatardı jaqınlasıwǵa tekseriń.
Sheshiw. . sanlı qatar jaqınlasiwshi boladı, sebebi funksiya bolǵanda oń, úzliksiz hám o'speydi hám de onıń ushın tómendegi 1- tur birdey emes integral
boladı.
4. Sanlı qatarlardıń absolut hám shártli jaqınlasıwı
Ózgeriwshi belgili sanlı qatar
u1 + u2 +... + un +... (5)
Berilgen bolsın. (5) sanlı qatar aĝzalariniñ absolut bahalarınan jańa sanlı qatar
(6 )
dúzemiz.
Eger (6 ) qatar jaqinlasiwshi bolsa, ol halda (5) sanlı qatar absolut jaqinlasiwshi qatar dep ataladı.
Eger (6 ) qatar uzaqlasiwshi bolıp, (5) qatardıń ózi jaqinlasiwshi bolsa, ol halda (5) sanlı qatar shártli jaqinlasiwshi qatar dep ataladı. Absolut jaqinlasiwshi sanlı qatar hámme waqıt jaqinlasiwshi boladı.
Bul
c1 - c2 + c3 - c4 +... (-1) n-1 cn +... (7)
sanlı qatarǵa belgileri almasiniw qatar dep ataladı. Bunday qatarlardı tekseriw ushın Leybnis teoremasinan paydalanıladı.
Leybnis teoremasi. Eger belgileri almasiniwshi (7) qatardıń aĝlari ushın :

1. 
   c₁ > c₂ > c₃ > ...
   
2. 
   
   

Orınlı bolsa, berilgen sanlı qatar jaqınlasiwshi boladı jáne onıń jıyındısı oń bolıp, birinshi aĝzadan úlken bolmaydı.
Belgisi almasiniwshi qatar qaldıǵı teńsizlik menen bahalanadı.
Mısal. Bul

Sanlı qatardıń jaqınlasiwshanligin tekseriń.
Sheshiw. Leybnis teoremasi shártleriniń joqarıda berilgen belgisi almasiniwshi qatar ushın atqarılıwın kóremiz, yaǵnıy

hám.

Sonday eken, qatar jaqınlasiwshi bolar eken. Absolut hám shártli jaqınlasiwshi qatarlardıń ózgeshelikleri:
1. Absolut jaqınlasiwshi qatarda orınların almastırıwdan dúzilgen jańa qatar da jaqınlasiwshi boladı hám jıyındısı berilgen qatar jıyındısı menen birdey boladı.
2. Shártli jaqınlasiwshi qatarda, b sanı qálegen san bolıwdan qaramastan, aĝzalar ornın sonday almastırıw múmkin, nátiyjede alinĝan jańa sanlı qatar jıyındısı b ga teń boladı.
3. Shártli jaqınlasiwshi sanlı qatarda aĝzalar ornın sonday almastırıw múmkin, nátiyjede uzaqlasiwshi jańa qatar alınadı.