Reja: ►Nazariy mexanika fanining tadqiqot obyektlari

Markaziy maydondagi harakat. Markaziy kuch maydoni
Zarra potensial energiyasi bu zarraga ta’sir etuvchi biror kuch markazi joylashgan nuqtagacha bulgan r masofaning radiusi bo’lganda bunday kuch yaratgan maydonni markaziy kuch deb yttgan edik. Bunday kuch

Ko’rinishida yoziladi va absolyut jihatdan faqat r buladi,har bir nuqtada radius vektor bo’yicha yo’naladi. Bunday maydon Lagranj funksiyasi

Vaqtda oshkor bog’liq bulmaydi hamda sferik simmetriyaga ega bo’ladi. Shuning uchun energiya saqlanuvchan,
(11)
bo’ladi. Xudi shuningdek, berilgan holda maydon markaziga nisbatan impuls momenti ham saqlanadi. Bita zarra uchun
(12)
Bo’ladi va
(13)
Xulosa 1. Markaziy kuch maydonining bir tekislikda sodir bo’lishi. Effektiv potensial energiya. Markaziy maydonda harakat bir tekislikda sodir bo’ladi. Harakat tekisligini xy tekisligi deb olsak, impuls momenti z o’qi bo’ylab yo’naladi:

Bu yerda impuls momentining doimiy qiymati. Qutb koordinatalari kiritish yo’li bila
(14) (15)
Qutb koordinatalarida Lagranj funksiyasi va energiya ko’rinishlari quyidagicha bo’ladi:

(16)
(16) ga ni (15) dan qo’ysak
(17)
Bu yerda markazdan qochma energiya deyiladi. Agar
(18)
belgilash kiritsak,
(19)
Xulosa 2. Markaziy kuch maydonida finitli va infinitli xarakat uchun trayektoriya tenglamasi. Markaziy maydonda harakat «effektiv» potensial energiyalik bir o’lchamli harakatga keltiradi.
Endi zarra trayektoriya tenglamasini aniqlaymiz. Aytganimizdan, berilgan holda harakat integrallari hisoblangan kattaliklar hisoblangan tenglamasini yechmasdan trayektoriya tenglamasini topish imkonini beradi. Buning uchun (17)dan ni topamiz:
(20)
bundan
(21)
ekanligini topamiz va (21) ni

ifodaga qo’yib , integrallasak
(22)
Trayektoriya tenglamasini topamiz, chunki (22) tenglama va o’zgaruvchilar o’rtasidagi bog’lanishni ifoda etadi.
Biz ko’rdikki,
(23)
tenglik markazdan qancha masofa zarra harakat qiladigan soha chegarasini aniqlar edi. Bu holda (17) va (23) lardan radial tezlik ning nolga teng bo’lishligi kelib chiqadi. Lekin bu holda zarra, bir o’lchamli harakatda ko’rganimizdek, harakatdan to’xtamaydi, chunki burchakli tezlik nolga teng bo’lmaydi. Radial tezlik uchun tenglik trayektoriyadagi «burilish nuqtani» ko’rsatadi, bu nuqtadan boshlab oshib boruvchi yoki kamayib boruvchi qiymatlarni qabul qiladi. Agar ning o’zgarish sohasi shart bilan chegaralangan bo’lsa, zarra cheksizlikdan gacha yaqinlashib, yana cheksizlikka uzoqlashadi.
Agar ning o’zgarish sohasi va chegaralarga ega bo’lsa, zarra harakati finitli bo’ladi va uning trayektoriyasi va doiralar bilan chegaralangan halqa ichida joylashgan bo’ladi. Lekin bundan zarra harakat trayektoriyasining so’zsiz yopiq bo’lishi kerak degan xulosa kelib chiqmaydi. Zarraning kuch markazigacha bo’lgan masofaning dan gacha va undan yana ga qaytishida radius vektor burchakka buriladi va uning qiymati (22) ga asosan:
(24)
Trayektoriyaning yopiq bo’lishligi uchun
(25)
(bu yerda butun sonlar) tengligining bajarilmog’i zarurdir. U holda davr marta takrorlangandan keyin zarraning radius-vektori to’liq aylanishlar yasab yana boshlangich qiymatini qabul qiladi. Lekin trayektoriyaning yopiq bo’lishligi kamdan-kam hollarda uchraydi. Shuning uchun umumiy holda finitli harakat trayektoriyasi yopiq bo’lmaydi va u va chegaralardan cheksiz ko’p marta o’tadi va rasmda chizma hosil bo’ladi.
Agar potensial energiya bog’lanishga ega bo’lsa, anna shu hollardagina trayektoriya yopiq bo’ladi. Infinitli harakat uchun (24) quydagicha yoziladi
(26)
Bu burchak tortuvchi markazdan uning trayektoriyasiga o’tkazilgan asimptotalar o’rtasidagi burchak hisoblanadi.