Reja: Darajali qatorlar

II. Agar (1) sonli qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda (2) sonli qator ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Isbot: I. (1) va (2) sonli qatorlarning n- xususiy yig‘indisini mos ravishda S_n(u) va S_n(v) deb belgilaymiz. Musbat hadli sonli qatorlarning n-xususiy yig‘indilari S_n (n=1,2,3, ∙∙∙) monoton o‘suvchi ketma-ketlikni tashkil etadi. Haqiqatan ham, и_n+1>0 bo‘lgani uchun S_n+1= S_n+ и_n+1> S_n . Shu sababli musbat hadli sonli qator yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rsatish uchun uning S_n (n=1,2,3, ∙∙∙) xususiy yig‘indilari ketma-ketligi yuqoridan chegaralangan bo‘lishini ko‘rsatish kifoya, chunki bu holda (VI bob, §2, 2-teoremaga qarang) limit mavjud va chekli bo‘ladi. Bizning holda, teorema shartiga asosan, mavjud bo‘lgani uchun S_n(v) (n=1,2,3, ∙∙∙) yuqoridan chegaralangan. Unda , S_n(u) ≤ S_n(v) bo‘lgani uchun, S_n(u) (n=1,2,3, ∙∙∙) monoton o‘suvchi sonli ketma-ketlik ham yuqoridan chegaralangan va shu sababli mavjuddir. Bundan tashqari ushbu tengsizlik ham o‘rinli bo‘ladi:
.
II. (2) sonli qator yaqinlashuvchi deb faraz qilamiz. Bu holda, teoremaning I qismiga asosan, (1) sonli qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bu esa teorema shartiga zid. Demak, farazimiz noto‘g‘ri va (2) qator uzoqlashuvchidir.
Teorema to‘liq isbotlandi.
Misol sifatida umumiy hadi u_n=1/(n+3ⁿ) bo‘lgan musbat hadli sonli qatorni qaraymiz. Bunda

bo‘lgani uchun berilgan sonli qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi 1/2 sonidan katta bo‘lmaydi.
Izoh: Oldingi paragrafdagi 1-teoremaga asosan qatorni chekli sondagi hadlarini tashlab yuborish uning yaqinlashuvchiligiga ta’sir etmaydi. Shu sababli (1) qator yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun taqqoslash alomatidagi и_n≤v_n tengsizlik barcha n=1,2,3, ∙∙∙ uchun bajarilishi shart bo‘lmasdan, biror N sonidan boshlab, ya’ni n≥N bo‘lganda bajarilishi kifoyadir. Ammo bunda S(u)≤S(v) tengsizlik bajarilmasligi mumkin.
Adabiyоtlar:


1. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 2-nashri, 1-ч.-М, “Наука”, 1976.
2. Xudoyberganov G., Vorisov A., Mansurov X. Kompleks analiz. (ma’ruzalar). T, “Universitet”,1998.
3. Sadullaev A., Xudoybergangov G., Mansurov X., Vorisov A., Tuychiev T. Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami. 3-qism (kompleks analiz) “O’zbekiston”,2000.