Reja: Asosiy masalalarning qo’yilishi

4. Elliptik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalar. (56) tenglama (elliptik tip) uchun chegaraviy masala bunday qo’yiladi; G soxada (56) tenglamani va S chegarada quyidagi shartlardan bittasini qanoatlantiruvchi funksiya topilsin:

I.

II.

III.

Bu yerda n – S sirtga o’tkazilgan tashqi normal, , , , da berilgan uzluksiz funksiyalar.

Masalalarni qo’yishdan darhol shu narsa ma’lumki, I holda u(x) funksiya sinfga , II, III, xollarda esa

Sinfga tegishli bo’lishi kerak.

Bu masalalardan I ni birinchi chegaraviy masala yoki Dirirxle masalasi, II ni ikkinchi chegaraviy masala yoki Neyman masalasi, III, ni esa uchinchi chegaraviy masala deyiladi.

Yuqorida keltirilgan masalalrda noma’lum u(x) funksiya G soxada izlangani uchun ularni mos ravishda ichki masalalr deb yuritiladi. Xuddi shunga o’xshash, chegaralangan G soxaning soxaning tashqarisisda (tashqi masalalar) chegaraviy masalalar qo’yiladi. Bularning farqi shundaki, S dagi chegaraviy shartlardan tashqari, soxa cheksiz bo’lgani uchun, cheksiz uzoqlashgan nuqtada xam shart beriladi.

Masalan bunday shartlar Laolas tenglamasi uchun IxI→∞ da

Ko’rinishda bo’lishi mumkin. Yuqoridagilarga o’xshash G soxada berilgan umumiy ikkinchi tartibli chiziqli

Tenghlama uchun chegaraviy masalalar qo’yiladi.

G soxada (80) tenglamaning



Shartni qanoatlantiruvchi regulyar yechimi topilsin.

Bu yerda va – S da berilgan funksiyalar; va deganda x nuqta G soxaning ichidan S nuqtasiga intilgandagi bu funksiyalarning limit qiymatlari tushuniladi. (80),(81) masala Pyankare masalasi deyiladi.

Barcha S da bo’lgan xolda (81) chegaraviy shartni

Ko’rinishda yozib olish mumkin. (80), (81) masala birinchi chegaraviy masala yoki Dirixle masalasi deyiladi.

S da bo’lganda, Puankare masalasining xususiy holi

Masala xosil bo’ladi. (80),(83) masala qiya xosilali masala deyiladi.

S sirtning nuqtasidagi yo’nalturuvchi kosinuslari

Bo’lgan birlik vektorni – konormalni N orqali belgilaymiz. Bu yerda n – S sirtga nuqtada o’tkazilgan tashqi normal,

Agar (83) chegaraviy shartda barcha S da

Bo'lsa, qiya xosilali masala ikkinchi chegaraviy masala yoki Neyman masalasi deyiladi.

5) Aralash masala. Tebranishlar tenglamasi (giperbolik tip), ya'ni (37) tenglama uchun aralash masala bunday qo'yiladi:

sinfga tegishli, silindrda (37) tenglamani, , da (70) boshlang'ich shartlarni va , ( ) da I, II yoki III chegaraviy shartlardan bittasini qanoatlantiruvchi funksiya topilsin. Xuddi shunga o'xshash, (44) diffuziya tenglamasi uchun aralash masala qo'yiladi: silindrda (44) tenglamaning , grad sinfga tegishli, (71) boshlang’ich shartni xamda I, II, yoki III chegaraviy shartlardan bittasini qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.