Reja: Asosiy masalalarning qo’yilishi

Ikkinchi tartibli xususiy xosilali chiziqli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarning qo’yilishi.

Reja:

1. 
   Asosiy masalalarning qo’yilishi.
   
2. 
   Koshi masalasi va uning qo’yilishida xarakteristikalarning roli.
   
3. 
   Koshi - Kovalevskiy teoremasi.
   
4. 
   Elliptik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalar.
   
5. 
   Aralash va boshqa masalalar.
   
6. 
   Korrekt qo’yilgan masala tushunchasi.
   
7. 
   Korrekt qo’yilmagan masalaga misollar.
   

Asosiy masalaning qo’yilishi. Avvalgi paragrafda ko’rsatib o’tganimizga asosan biror fizik jarayonni to’la o’rganish uchun, bu jarayonni tasvirlayotgan tenglamalardan tashqari, uning boshlang’ich xolatini (boshlang’ich shartlarni) va jarayon sodir bo’layotgan soxaning chegarasidagi xolatini (chegaraviy shartlarni) berish zarurdir.

Matematik nuqtayi nazardan bu narsa differensial tenglamalar yechimini yagona emasligi bilan bogliqdir.

Oddiy differensial tenglamalar kursidan ma’lumki, n-tartibli

F(x, y, y’, …

Tenglamaning umumiy yechimi n ta ixtiyoriy o’zgarmasga bo’liqdir, ya’ni y=ϕ(x, ). Bu o’zgarmaslarni aniqlash uchun noma’lum funksiya y(x) qo’shimcha shartlarni qanoatlantirishi kerak .

Xususiy xosilali differensial tenglamalar uchun masala murakkabroqdir. Bu tenglamalarning yechimi ixtiyoriy o’zbarmaslarga emas, balki umuman aytganda, ixtiyoriy funksiyalarga bog’liq bo’lib bu funksiyalarning soni tenglamaning tartibiga teng bo’ladi. Ixtiyoriy funksiyalar argumentlarining soni yechim argumentlari sonidan bitta kam bo’ladi .

Bu fikrning to’g’riligiga Koshi – kovalevskaya teoremasiga asosan ishonch hosil qilish mumkin. Biz bu yerda bir nechta misolarni keltiramiz

1. 
   Ikki x va y o’zgaruvchili
   

Tenglamaning umumiy yechimi

u(x,y)=f(y)

dan iborat, f(y) – ixtiyoriy funksiya.

2. 
   Xususiy xosilali birinchi tartibli
   

=

Tenglamani x+y=ξ , x-y=ɳ , u(x , y) = ω(ξ , ɳ) almashtirishlar yordamida

2 =0

Ko’rinishga keltirirsh mumkin. Bu tenglamaning umumiy yechimi ω(ξ, ɳ)=v(ξ) bo’ladi.

Demak boshlang’ich tenglamaning umumiy yechimi

u(x,y)=ʋ(x+y)

dan iborat.

Xuddi shunga o’xshash, agar α va β o’zgarmas sonlar bo’lsa,

αu_x + βu_y=0

u(x,y)=ʋ(xβ+yα)

dan iboratdir.η

3. 
   Ushbu
   

u_xy=0

Tenglamaning umumiy yechimi

u(x,y)=f(x)+ϕ(y)

ekanligiga ishonch xosil qilish qiyin emas.

4. 
   Bir jinsli bo’lmagan
   

u_xy=f(x,y)

tenglamaning umumiy yechimi

u(x,y)= +ʋ(x) + w(y)

ko’rinishda bo’ladi. Bu yerda ʋ, w - ixtiyoriy funksiyalar x₀ va y₀ lar esa tayin sonlar.

5. 
   Uchinchi tartibli
   

u_xyy=0

tenglamaning umumiy yechimi

u(x,y) = (y)+yΨ(x)+Ψ₁(x)

dan iboratdir.

Shunday qilib aniq fizik jarayonni ifodolovchi yechimni ajratib olish uchun qo’shimcha shartlarni berish zarurdir. Bunday qo’shimcha shartlar boshlang’ich va chegaraviy shartlardan shartlardan iboratdir.

Jarayon sodir bo’layotgan soxa G R bo’lib, S uning chegarasi bo’lsin. S ni bo’laklari silliq sirt deb xisoblaymiz. Demak G(56) tenglamadagi erkli o’zgaruvchilarning o’zgarish soxasi, ya’ni (56) tenglamaning berilgan soxasidir. (37) va (44) tenglamalarning berilish soxasi asosi G va balandligi T bo’lgan Ц_T=Gx(0,T) silindirdan uning yon sirti Sx[0,T] ikkita quyi Gx{0} va yuqori Gx{T} asoslaridan iboratdir. (3-chizma)

(37), (44), (56) tenglamalarning , p, q koefitsientlarini t o’zgaruvchiga bogliq emas, bularning fizik ma’nosiga ko’ra (x)>0, p(x)>0, q(x) 0, x G deb xisoblaymiz.

Nihoyat ko’rilayotgan tenglamalarning matematik ma’nosiga ko’ra C(G), C’(G), va q C(G) shartlarning bajarilishi ham zarurudir. Bularga a sosan (37) tenglama giperbolik, (56) esa elliptic tipga tegishli bo’ladi. Differensial tenglamalar uchun, asosan uch tipdagi masalalar bir-birirdan farq qiladi.

1.