Reja: Asosiy masalalarning qo’yilishi

Koshi – Kovalevskaya teoremasi. Bu bandda biz tekshiradigan tenglamalardagi noma’lum funksiyalar n+1 o’zgaruvchiga bog’liq bo’lib, bulardan bittasini t orqali, qolganlarini esa orqali belgilab olamiz. Avvalo ikkita ta’rif kiritamiz.

N ta noma’lum funksiya ushbu

Differensial tenglamalar sistemasining o’ng tomonidagi funksiyalarda t o’zgaruvchi bo’yicha dan yuqori tartibli boshqa o’zgaruvchilar bo’yicha dan yuqori tartibli boshqa o’zgaruvchilar bo’yicha dan yuqori tartibli xosilalar ishtirok etmasa, ya’ni bo’lsa, (77) Sistema t o’zgaruvchiga nisbatan normal Sistema deyiladi.

Masalan, to’lqin tenglamasi Laplas tenglamasi, issiqlik tarqalish tenglamasi xar bir x o’zgaruvchiga nisbatan normal tenglamadir, bumdan tawqari to’lqin tenglamasi t ga nisbatan ham normal tenglamadir.

Ixtiyoriy xususiy xosilali differensial tenglamalar sistemasini umuman (77) ko’rinishga keltirish mumkin emasligini eslatib o’tamiz. Agar funksiya nuqtaning biror atrofida tekis yaqinlashuvchi

,

Darajali qator bilan ifodalansa, u nuqtada analitik funksiya deyiladi. nuqta kompleks bo’lishi xam mumkin.

Agar funksiya G soxaning xar bir nuqtasida analitik bo’lsa , u G soxada analitik deyiladi. t ga nisbatan normal Sistema uchun Koshi masalasi bunday qo’yiladi (77) sistemaning da ushbu

k=0,1, … , i=1,2, … , N (78)

Boshlang’ich shaartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. Bu yerda – biror G soxada berilgan funksiyalar. Berilgan (78) boshlang’ich shartalrga asosan funksiyalar ishtirok etayotgan barcha xosilalar va da ma’lum bo’ladi, masalan

Xususan birinchi tartibli xususiy xosilali differensial tenglamalarning normal sistemasi

Ko’rinishga ega bo’ladi. Bu shartlarga ko’ra, (79) Sistema o’ng tomoni noma’lum funksiyalarning t bo’yicha xosilasiga, boshqa o’zgaruvchilar bo’yicha birinchi tartibdan yuqori bo’lgan xosilalarga bog’liq emas. Birinchi tartibli normal Sistema uchun boshlang’ich shartlar

Ko’rinishga ega bo’ladi. Bu shartlarga ko’ra, (79) Sistema o’ng tomonidagi funksiyalarning argumentlari nuqtada darhol aniqlanadi.

K o sh i – K o v a l e v s k i y t e o r e m a s i. Agar barcha funksiyalar nuqtaning biror atrifida analitik funksiya esa nuqtaning biror atrofida analitik bo’lsa, u holda (77) (78) koshi masalasi ( ) nuqtaning biror atrofida analitik yechimgs ega bo’ladi, shu bilan birga bu yechim analutik funksiyalar sinfida yagona bo’ladi.

Bu teorema analitik funksiyalar sinfda Koshi masalasining yechimi yetarli kichik soxada mavjud va yagona ekanligini tasdiqlaydi.

Analitik bo’lmagan, lekin yetarli silliq funksiyalar sinfida (77),(78) masala yechimining yagonaligi Xolmgren tomonidan isbotlangan. Koshi – Kovalevskaya teormasining to’la isbotini P.Kurant [10], I.G Petrovskiy [17] G.N.Polojiy [19] kitoblaridan o’qish mumkin.