Reja: Aniq integralni taqribiy hisoblash. Umumiy mulohazalar

6 – MA’RUZA.

ANIQ INTEGRALLARNI TAQRIBIY QIYMATLARI. TO‘RTBURCHAK VA TRAPETSIYA USULLARI. SIMPSON FORMULASI.

Reja:

1. 
   Aniq integralni taqribiy hisoblash. Umumiy mulohazalar.
   
2. 
   To‘g’ri to‘rtburchaklar formulasi.
   
3. 
   Trapetsiyalar formulasi. Simpson formulasi.
   
4. 
   Taqribiy integrallash formulalari xatoligini baholash va ulardan amalda foydalanish.
   
5. 
   Sonli integrallash. Gauss formulasi
   

1. Aniq integralni taqribiy hisoblash. Umumiy mulohazalar
Aniq integralni hisoblash talab qilingan bo‘lsin. Agar f(x) funksiya kesmada uzluksiz bo‘lsa, bu masalani umumiy holda Nyuton-Leybnits formulasi

(7.1)

yordamida hal qilinadi. (F(x)=f(x)). Ammo ma’lumki, ko‘pchilik funksiyalarning boshlang’ich funksiyalari (aniqmas integrallari) elementar funksiyalar bo‘lmasligi mumkin. Undan tashqari, boshlang’ich funksiya elementar bo‘lgan ba’zi hollarda (7.1) formulaning o‘ng tomoni hisoblash uchun amaliy jihatdan yaroqsiz (noqulay) bo‘lishi mumkin.

Bunday hollarda integralni taqribiy hisoblash formulalaridan foydalanish maqsadga muvofiqdir. Bu formulalar, asosan, integralning geometrik ma’nosiga suyangan holda chiqariladi. Ma’lumki, integral y=f(x) egri chiziq, x=a va x=b to‘g’ri chiziqlar hamda abtsissalar o‘qi bilan chegaralangan xOy koordinatalar tekisligidagi egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng (f (x)>0 deb faraz qilamiz).

7.1-rasm

Endi S= integralni taqribiy hisoblash maqsadida. kesmani n ta bo‘laklarga bo‘lamiz va bo‘linish nuqtalarini (tugunlarini) o‘sish tartibida

a=x₀ <x₁<…<x_i-1<x_i<…<x_n=b

ko‘rinishida belgilaymiz. U holda,

(7.2)

ekanligini payqash qiyin emas.

Oxirgi tenglikdagi (i=1,2,…,n) integrallarni taqribiy hisoblashning bir qator usullari mavjud bo‘lib, ulardan ba’zi birlarini quyida keltiramiz.