Reja: 1 Konussimon sirtlar. Sfera. Aylanish sirtlar

1-chizma

2) 1-Ta’rif. Fazoda 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 tenglama bilan aniqlangan nuqtalarning geometrik o’rniga ikkinchi tartibli sirt deb aytiladi, bunda 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 − ikkinchi tartibli ko’phad.
Umumiy holda ikkinchi tartibli sirt quyidagicha:
a₁₁ 𝑥² + 𝑎₂₂ 𝑦² + _𝑎33 z² + 2𝑎₁₂ 𝑥𝑦 + 2𝑎13𝑥𝑧 + 2𝑎₂₃ 𝑦𝑧 + +2𝑎₁₀ 𝑥 + 2𝑎₂₀ 𝑦 + 2𝑎₃₀ 𝑧 + 2𝑎₀₀ = 0 (1)

Sirtlar, ularning Dekart koordinatalariga nisbatan ifoda qilingan tenglamalarga qarab, tekislikdagi chiziqlar kabi, algebraik va transtendent sirtlarga bo‘linadi. Shuning uchun algebraik sirt deb, shunday sirtga aytiladiki, agarda uni 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 0 ko‘rinishidagi tenglama bilan ifodalash mumkin bo‘lsa va 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) esa 𝑥, 𝑦, 𝑧 ga nisbatan polinom(ko‘p hadli) bo‘lsa, algebraik bo‘lmagan hamma sirtlarni transtendent sirtlar deyiladi. Algebraik sirtlar, o‘z navbatida, turli tartibli sirtlarga bo‘linadi. Agarda (𝑥; 𝑦; 𝑧) polinomning darajasi 𝑛 bo‘lsa, unday sirtlarni 𝒏 − tartibli sirt deyiladi.

Dekart o‘zgaruvchi 𝑥, 𝑦, 𝑧 koordinatalariga nisbatan ikkinchi darajali algebraik tenglama bilan ifoda qilingan sirt ikkinchi tartibli sirt deyiladi. Shuning uchun ikkinchi tartibli sirt ifoda qiladigan ikkinchi darajali algebraik tenglamaning umumiy ko‘rinishi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
𝐴1𝑥 2 + 𝐴2𝑦 2 + 𝐴3𝑧 2 + 𝐵1𝑥𝑦 + 𝐵2𝑥𝑧 + 𝐵3𝑦𝑧 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2𝑦 + +𝐶3𝑧 + 𝐹 = 0, (2)
bunda 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , 𝐵1 , 𝐵2 ,… , 𝐹 koeffitsiyentlar haqiqiy o‘zgarmas sonlardan iborat bo‘lib, xususiy holda ulardan ba’zilari nolga teng bo‘lishi mumkin. Bu tenglamaning umumiyligiga xalal bermay uni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
𝐴1𝑥 2 + 𝐴2𝑦 2 + 𝐴3𝑧 2 + 2𝐵1𝑦𝑧 + 2𝐵2𝑥𝑧 + 2𝐵3𝑥𝑦 + +2𝐶1𝑥 + 2𝐶2𝑦 + 2𝐶3𝑧 + 𝐹 = 0. (3)
Tenglamani ushbu ko‘rinishda yozsak, uning bilan bog‘langan amallarni bajarish birmuncha qulay bo‘ladi. Koordinatalar sistemasini alamashtirish yordamida tenglamani soddalashtirib, uni
𝐴1𝑥 2 + 𝐴2𝑦 2 + 𝐴3𝑧 2 + 𝐹 = 0 (4)
yoki
𝐴1𝑥 2 + 𝐴2𝑦 2 + 2𝐶3𝑧 = 0 (2) (5)
shaklga keltirish mumkin. (6.2)
(4) tenglama bilan ifoda qilingan sirt ikkinchi tartibli markazli sirt deyiladi va (5) tenglama bilan ifoda qilingan sirt ikkinchi tartibli markazsiz(yoki markazi cheksizlikdagi) sirt deyiladi. Faraz qilaylik, ikkinchi tartibli markazli sirtning eng sodda tenglamasi berilgan bo‘lsin:
𝐴1𝑥 2 + 𝐴2𝑦 2 + 𝐴3𝑧 2 + 𝐹 = 0 (6)
va bundagi ozod had bo‘lgan 𝐹 ning ishorasi qolgan koeffitsiyentlarining ishorasiga teskari bo‘lsin. Tenglamaning 𝐹 koeffitsiyentini o‘ng tomonga o‘tkazib, so‘ngra uning ikkala tomonini (−𝐹) ga bo‘lamiz:
𝐴1𝑥 2 + 𝐴2𝑦 2 + 𝐴3𝑧 2 = −𝐹,
𝐴1𝑥 2/−𝐹 + 𝐴2𝑦 2/ −𝐹 + 𝐴3𝑧 2 /−𝐹 = 1,


3) Ikkinchi tartibli egri chiziqlardan aylana, ellips, giperbola va parabolalarni ta’rifi, ularning kanonik tenglamalari va asosiy xarakteristikalarini ochib beruvchi kattaliklar toʻgʻrisida qisqacha toʻxtalib oʻtishga maqsadga muvofiq boʻladi.

Bu sistemada ixtiyoriy M nuqtaning koordinatalari deb, OM radius-vektor koordinatalariga aytiladi. Agar OM=x=y bo`lsa, u holda M nuqta koordinatalari kabi M yoziladi. Nuqta holatini sonlar yordamida ifodalash koordinatalar usuli deyiladi. Tekislikdagi har bir chiziq koordinatalar usuli yordamida biror tenglama bilan ifodalanadi. Koordinatalar sistemasining yana bir muhim ko`rinishi bu qutb koordinatalar sistemasidir. Qutb koordinatalar sistemasi qutb deb ataluvchi nuqta va qutb o`qi deb ataluvchi -nur yordamida beriladi. Tekislikdagi ixtiyoriy nuqtaning holati bu nuqtadan qutbgacha bo`lgan masofa (qutb radiusi) va kesmani qutb o`qi bilan hosil qilgan burchagi (qutb burchagi) yordamida aniqlanadi:

r va r sonlari M nuqtaning qutb koordinatalari deyiladi va M(r) kabi yoziladi. Tekislikdagi barcha nuqtalarning qutb koordinatalarini ifodalash uchun – qutb burchagi oraliqda va - qutb radiusi esa, oraliqda bo`lishi etarlidir. Yuqorida keltirilgan chizma asosida M nuqtaning Dekart koordinatalari va qutb koordinatalari orasidagi quyidagi munosabatlarni hosil qilamiz:

Bu erda - buachakni aniqlashda avval uning choragi aniqlanadi (x va y larning ishoralariga asosan), so`ngra oraliqdagi kerakli burchak olinadi. Masalan: M(-1;-) nuqtaning qutb koordinatalarini aniqlaylik. va larni hisoblaymiz:
•Bir koordinatalar sistemasidan boshqasiga o`tganda nuqta koordinatalari qanday o`zgarishini o`rganaylik. Koordinatalar sistemasini o`zgartirishning ikki hil ko`rinishini qaraymiz.
• a) Koordinatalar sistemasini parallel ko`chirish. Tekislikda biror to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasini olaylik. Agar koordinatalar boshini biror nuqtaga ko`chirib, o`qlar yo`nalishi va masshtabni o`zgarishsiz qoldirsak, u holda
• yangi koordinatalar o1 x1 y1 sistemasiga ega bo`lamiz. Oxy koordinatalar sistemasidan o1 x1 y1 koordinatalar sistemasiga o`tish koordinata o`qlarini parallel ko`chirish deyiladi.

• Yangi koordinatalar sistemasi boshi bo`lgan nuqtaning o1 koordinatalar oxy sistemasidagi koordinatalari (x0 ;y0 ) , ya`ni bo`lsin. Ixtiyoriy M nuqtaning koordinatalar sistemasidagi koordinatalari (x;y) va o1 x1 y1 koordinatalar sistemasidagi koordinatalari (x;y) bo`lsin.
b) Koordinata o`qlarini burish. Agar tekislikdagi Dekart koordinatalar sistemasida har ikki koordinata o`qlari bir hil burchakka burilib, koordinataboshi va masshtab o`zgarishsiz qoldirilsa, u holda yangi koordinatalar sistemasi hosil bo`ladi. koordinatalar sistemasidan ox1 y1 koordinatalar sistemasiga o`tish koordinata o`qlarini burchakka burish deyiladi.

• Ixtiyoriy M nuqtaning oxy koordinatalar (x;y) sistemasidagi koordinatalari va 0x1 y1 koordinatalar sistemasidagi koordinatalari (x;y) bo`lsin. •Umumiy O qutbga ega, qutb oqlari esa va lar bo`lgan ikkita qutb koordinatalar sistemasini qaraymiz. M nuqta har ikki r qutb koordinatalar sistemasida ham bir hil - qutb radiusiga ega bo`ladi, ammo qutb burchaklari birida yana birida a+b ga b teng bo`lishi chizmadan ko`rinib turibdi. Qutb koordinatalaridan Dekart koordinatalariga o`tish formulalariga ko`ra:

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

1.Я.П.Понарин Елементарная геометрия, Москва МЦНМО,2004.

2. Т.Н.Қори-Ниёзий Аналитик геометрия асосий курси Тошкент,1967.
3. I.Isroilov, Z.Pashayev Geometriya, “O’qituvchi ”, Toshkent,2005.
4. S.V.Baxvalov, P.S.Modenov, A.S.Parxomenko Analitik geometriyadan masalalar to’plami, Toshkent,2005.
5. www.ziyonet.uz.
6. www.ilm.uz
Mavzu: Egri chiziklarning parametrik tenglamalari. Vektorlarning geometrik va mexanik masalalarga tadbiqi.