|
Регрессивный анализ
Регрессионный анализ — метод моделирования измеряемых данных и исследования их свойств. Данные состоят из пар значений зависимой переменной (переменной отклика) и независимой переменной (объясняющей переменной). Регрессионная модель есть функция независимой переменной и параметров с добавленной случайной переменной. Параметры модели настраиваются таким образом, что модель наилучшим образом приближает данные. Критерием качества приближения (целевой функцией) обычно является среднеквадратичная ошибка: сумма квадратов разности значений модели и зависимой переменной для всех значений независимой переменной в качестве аргумента. Регрессионный анализ — раздел математической статистики и машинного обучения. Предполагается, что зависимая переменная есть сумма значений некоторой модели и случайной величины. Относительно характера распределения этой величины делаются предположения, называемые гипотезой порождения данных. Для подтверждения или опровержения этой гипотезы выполняются статистические тесты, называемые анализом остатков. При этом предполагается, что независимая переменная не содержит ошибок. Регрессионный анализ используется для прогноза, анализа временных рядов, тестирования гипотез и выявления скрытых взаимосвязей в данных.
Обзор регрессионного анализа
Регрессионный анализ использует выбранный метод оценки, зависимую переменную и одну или несколько независимых переменных для создания уравнения, которое оценивает значения зависимой переменной.
Модель регрессии включает выходные данные, например R2 и p-значения, по которым можно понять, насколько хорошо модель оценивает зависимую переменную.
Диаграммы, например матрица точечной диаграммы, гистограмма и точечная диаграмма, также используются в регрессионном анализе для анализа отношений и проверки допущений.
Регрессионный анализ используется для решения следующих типов проблем:
Выявить, какая независимая переменная связана с зависимой.
Понять отношения между зависимой и независимыми переменными.
Предсказать неизвестные значения зависимой переменной.
Примеры
Аналитик в рамках исследования для небольшой розничной сети изучает эффективность работы различных магазинов. Он хочет выяснить, почему некоторые магазины показывают очень небольшой объем продаж. Аналитик строит модель регрессии с независимыми переменными, такими как средний возраст и средний доход жителей, проживающих вокруг магазинов, а так же расстояние до торговых центров и остановок общественного транспорта, чтобы выявить, какая именно переменная наиболее влияет на продажи.
Аналитик департамента образования исследует эффективность новой программы питания в школе. Аналитик строит модель регрессии для показателей успеваемости, используя такие независимые переменные, как размер класса, доход семьи, размер подушевого финансирования учащихся и долю учащихся, питающихся в школе. Уравнение модели используется для выявления относительного вклада каждой переменной в показатели успеваемости учебного заведения.
Аналитик неправительственной организации изучает эффект глобальных выбросов парниковых газов. Аналитик строит модель регрессии для выбросов в последнее время, зафиксированных в каждой стране, используя независимые переменные, такие как валовой внутренний продукт( ВВП), численность населения, производство электроэнергии с использованием добываемого углеводородного топлива и использование транспортных средств. Эту модель можно использовать использована для прогнозирования будущих выбросов парниковых газов на основе предполагаемых значений значений ВВП и численности населения.
Наименьшие квадраты
Регрессионный анализ в ArcGIS Insights моделируется на основе Метода наименьших квадратов (МНК).
МНК – форма множественной линейной регрессии, допускающей, что отношения между зависимыми и независимыми переменными должны моделироваться подгонкой линейного уравнения к данным наблюдений.
Модель должна быть линейной.
Регрессия МНК используется только при построении линейной модели. Линейную зависимость между зависимой и независимыми переменными можно проверить используя точечную диаграмму (рассеивания). Матрица точечной диаграммы может проверить все переменные, при условии, что всего используется не более 5 переменных.
Данные должны быть распределены произвольно.
Данные, используемые в регрессионном анализе, должны быть произвольно распределены, то есть выборки данных не должны зависеть от какого-либо внешнего фактора. Произвольное распределение можно проверить, используя невязки в модели регрессии. Невязки, рассчитываемые как результат модели регрессии, не должны коррелировать при нанесении их на точечную диаграмму или матрицу точечной диаграммы вместе с независимыми переменными.
Независимые переменные не должны быть коллинеарны.
Коллинеарность - это линейная связь между независимыми переменными, которая создает избыточность в модели. В ряде случаев модель создается с коллинеарностью. Тем не менее, если одна из коллинеарных переменных зависит от другой, возможно, стоит удалить ее из модели. Оценить коллинеарность можно с помощью точечной диаграммы или матрицы точечной диаграммы независимых переменных.
Независимые переменные должны иметь незначительную погрешность измерения.
Точность модели регрессии соответствует точности входных данных. Если независимые переменные имеют большой разброс ошибок, модель нельзя считать точной. При выполнении регрессионного анализа очень важно использовать наборы данных только из известных и доверенных источников, чтобы быть уверенным в незначительности ошибок.
Предполагаемая сумма невязок должна быть равна нулю.
Невязки представляют собой разность между ожидаемыми и наблюдаемыми значениями в регрессионном анализе. Наблюдаемые значения выше кривой регрессии имеют положительное значение невязки, а значения ниже кривой регрессии – отрицательные. Кривая регрессии должны проходить через центр точек данных; соответственно сумма невязок должны стремиться к нулю. Сумму значений поля можно вычислить в суммарной таблице.
Невязки должны иметь равномерную вариабельность.
Величина вариабельности должна быть одинаковой для всех невязок. Это допущение проверяется с использованием точечной диаграммы невязок (ось y) и оцениваемых значений (ось x). Результирующая точечная диаграмма отображается как горизонтальная полоса с произвольно разбросанными точками по всей площади.
Распределение невязок должно соответствовать нормальному.
Нормальное распределение – кривая в форме колокола – является естественным распределением, где высокая частота явления наблюдается рядом со средним значением, и по мере увеличения расстояния от среднего частота снижается. В статистическом анализе нормальное распределение часто используется как нулевая гипотеза. Если распределение невязок соответствует нормальному, линия наилучшего соответствия проходит по центру наблюдаемых точек данных, а не отклоняется, приближаясь к одним, и отклоняясь от других. Это допущение можно проверить, построив гистограмму невязок. Кривая нормального распределения может не поместиться в карточку и сдвиги и эксцессы переносятся на обратную сторону карточки гистограммы.
Смежные невязки не должны обнаруживать автокорреляцию.
Это допущение основано на хронологии данных. Если данные соответствуют хронологии, каждая точка данных должна быть независима от предыдущей или последующей точки данных. Поэтому при выполнении регрессионного анализа важно убедиться, что хронологический порядок данных соответствует нормальному ходу времени. Это допущение вычисляется с использованием теста Дарбина-Уотсона.
Тест Дарбина-Уотсона измеряет автокорреляцию невязок в модели регрессии. Критерий Дурбина-Ватсона использует шкалу от 0 до 4, где значения от 0 до 2 указывают на положительную автокорреляцию, 2 – отсутствие автокорреляции, а от 2 до 4 отрицательную автокорреляцию. То есть, чтобы соответствовать допущению об отсутствии автокорреляции невязок, необходимо получить значение, приближающееся к 2. В целом, значения между 1.5 и 2.5 считаются допустимыми, а меньше 1.5 или больше 2.5 указывают на то, что модель не соответствует утверждению об отсутствии автокорреляции.
Do'stlaringiz bilan baham: |
