Реферат Список основных специальных терминов с определениями

1.4.1. Сложение точек на эллиптической кривой

Сложение двух точек эллиптической кривой заключается в том, что если взять две точки P и Q, которые лежат на данной кривой, и провести через них прямую, то эллиптическая кривая будет иметь пересечение этой прямой в третьей точке. Так как эллиптическая кривая будет симметричной относительно оси Х, то мы можем зеркально отразить эту точку относительно оси X, получив новую точку P+Q принадлежащую данной кривой (Рис. 1.4).

Рисунок 1.4
Сложение точек на эллиптической кривой



Пусть дана кривая

𝑦2=𝑥3+𝑎𝑥+𝑏 (1.5)

над полем k (𝑘≠2 и 𝑘≠3), и точки P=(𝑥𝑝, 𝑦𝑝) и Q=(𝑥𝑞, 𝑥𝑞) принадлежащие кривой (1.5)

Предположим, что 𝑥𝑝≠𝑥𝑞.
Пусть формула нахождения углового коэффициент секущей

𝑆=𝑦𝑝−𝑦𝑞𝑥𝑝−𝑥𝑞 (𝑚𝑜𝑑 𝑘) (1.6)

так как k — поле, то s строго определено.

Тогда мы можем определить 𝑅=𝑃+𝑄=(𝑥𝑟,𝑦𝑟) следующим образом:

𝑥𝑟 =𝑠2 − 𝑥𝑝−𝑥𝑞 (𝑚𝑜𝑑 𝑘) (1.7)

𝑦𝑟 =𝑠(𝑥𝑃− 𝑥𝑅)−𝑦𝑝 (𝑚𝑜𝑑 𝑘) (1.8)

Формулы сложения (1.7) и (1.8) показывают, что координаты суммы двух точек выражаются через координаты слагаемых рационально, следовательно, если координаты выбранных точек принадлежат выбранному полю, то и сумма этих точек принадлежит этому же полю. [8]

1.4.2. Удвоение точек на эллиптической кривой

Удвоение точки эллиптической кривой происходит немного по-другому, нежели сложение двух точек. Основное отличие заключается в нахождении углового коэффициент секущей, проведенной через точку.

Он высчитывается по формуле (1.9)

𝑆=3𝑥𝑝+𝑎2𝑦𝑝 (𝑚𝑜𝑑 𝑘) (1.9)

Вычисление же координат остается неизменным, они вычисляются по формулам (1.7) и (1.8).

1.4.3. Оценка числа элементов группы точек эллиптической кривой

Данные свойства позволяет говорить о конечной группе точек в котором можно строить криптографические алгоритмы.

Для выбранной эллиптической кривой количество точек в группе конечно. Данное количество точек в группе эллиптической кривой m можно определить по формуле (1.10):

𝑝+1−2√𝑝≤𝑚≤𝑝+1+2√𝑝 (1.10)

где р – порядок поля, над которым определена кривая.