Referat haqida toliq malumot

Referat haqida toliq malumot:

Ratsional funksiyani (kasrni) integrallash

Quyidagi ikki ko`phadning nisbati kasr-ratsional funktsiya yoki ratsional kasr deyiladi:

(9,1)
bunda m, n — musbat butun sonlar, ai bj є R (i =0,.., n, j = 0,.., m).
Agar m n bo`lsa, noto`gri ratsional kasr deyiladi.
Har qanday noto`gri kasrning suratini maxrajiga bo`lish natijasida uni biror ko`phad va to`gri kasr yig`indisi shaklida yozish mumkin:
(9,2)
Kasirning maxrajini ko`paytuvchilarga ajrati bo`lsa, uni
(9,3)
ko`rinishdagi sodda (elementar) kasrlarning yig`indisi sifatida ifodalash mumkin, bunda a – lar Pn(x) ning haqiqiy ildizlari va dir. 
Masalan, noto`gri kasrning suratini maxrajiga ko`phadni ko`phadga bo`lish qoidasi bilan bo`lsak, quyidagiga ega bo`lamiz:

Har qanday ko`phad oson integrallanadi va ratsional funktsiyani integrallash to`gri kasrni integrallashga keltiriladi. Shuning uchun ratsional funktsiyalarning m with(genfunc):

factor(x^3+1);
> with(genfunc):factor((x-1)/(x^3+1));

Kasrni sodda kasrlarga ajratish:

> rgf_pfrac((x-1)/(x^3+1),x);

2-misol. ni sodda ratsional kasrlar yig`indisi ko`rinishiga keltiring.

x4+2x3+x2=x2(x2+2x+1)=x2(x+1)2.
(3) ga asosan quyidagicha:

Noma`lum koeffitsientlarni x ga ma`lum qiymatlar berish yo`li bilan ham topish mumkin bo`lib, ko`p hollarda bu qulaylik tug`diradi. 

Oxirgi tenglikda:
x=0 desak, 1=A10+A21+A30+A40  A2 =1;
x=–1 desak, 1=A10+A20+A30+A41  A4 =1;
x=1 desak, 1=4A1+4A2+2A3+A4  4A1+2A3 = –4;
x=–2 desak, 1=–2A1+A2 –4A3+4A4  –2 A1–4A3 = –4;

A1=–2, A2=1, A3=2, A4=1.

Demak, berilgan kasirni sodda ratsional kasirlarga ajratilgan ko`rinishi quyidagicha:

Kasr maxrajini ko`paytuvchilarga ajratish:

> with(genfunc):factor(x^4+2*x^3+x^2); 
> with(genfunc):factor(1/(2*x^4+3*x^3+x^2));

Kasrni sodda kasrlarga ajratish:

> rgf_pfrac(1/(x^4+2*x^3+x^2),x);

Shunday qilib, to`g`ri ratsional kasrni integrallash masalasi, (12.3) yoyilmaga ko`ra, integrallanishi jihatidan bir-biridan farq qiladigan quyidagi to`rt xil sodda (elementar) ratsional kasrlarni integrallash masalasiga keltiriladi:

;
bu yerda A0,B0,C0, a,p va q lar berilgan sonlar: 2nN, p 2–4q Int(A0/(x-a),x)=int(A0/(x-a),x);

2) .
> Int(A0/(x-a)^n,x)=int(A0/(x-a)^n,x);

3) 

> Int((B0*x+C0)/(x^2+p*x+q),x)=int((B0*x+C0)/(x^2+p*x+q),x);

4) 

bu yerda .

Oxirgidan ko`rinadiki, agar 

ko`rinishdagi integrallarni ololsak, masala haldir. Agar bu integralda m=1 desak, 

bo`ladi.
Endi, bo`lgan holni qaraylik.

Oxirgi integralni bo`laklab integrallaymiz: 

Demak, 

rekkurrent (qaytma) formulani olamiz.
Endi, m=2,3,…,n qiymatlarni berish natijasida Jn ni topamiz.
Shunday qilib, berilgan ratsional kasrning, yuqoridagi usullar bilan, integralini topa olamiz, ya`ni ratsional kasr integrali elementar funksiyadan iborat bo`lar ekan.
> restart;
> Ik2:=int(1/(t^2+a^2)^m,t); 
> m:=1:value(Ik2);
> m:=2:value(Ik2);
> m:=3:value(Ik2); 
> m:=4:Ik2:=value(Ik2);

> m:=4:a:=1:Ik2:=value(Ik2);

n=2,3 bo`lganda integralini formula asosida topish.

1) > restart;

> Ik3:=int((A*(t-p/2)+B)/(t^2+a^2)^m,t);

> m:=2:Ik3:=value(Ik3);

> m:=3:Ik3:=value(Ik3);

2) > A:=4:B:=5:p:=6:q:=25:a:=sqrt(4*q-p^2)/2:

> with(student):
> changevar(t=x+p/2, (Ik3, t), x);

3) n=2,3 bo`lganda bevosita topish.

> restart;
> Ik4:=int((4*x+5)/(x^2+6*x+25)^2,x);

> Ik5:=int((4*x+5)/(x^2+6*x+25)^3,x);

3-misol. integralni toping.
Yechish: 
hosil bolgan tenglikning chap va o`ng ko`phadlarining darajalari bo`icha mos koeffitsientlarni tenglashtirib quyidagi sistemani tuzamiz: 

Sodda kasirlarning koeffitsientlarni topish va integrallash:

> restart;
> f:=x->(1-x^3)/(x^5+x^2);
> y1:=x->A1/x+A2/x^2+A3/(x+1)+(A4*x+A5)/(x^2-x+1);

> p:=simplify(y1(x));

> pol1:=f(x)*(x^5+x^2); pol2:=p*x^2*(x+1)*(x^2-x+1);
> kp0:=coeff(pol1,x,0)=coeff(pol2,x,0);
> kp1:=coeff(pol1,x,1)=coeff(pol2,x,1);
> kp2:=coeff(pol1,x,2)=coeff(pol2,x,2);
> kp3:=coeff(pol1,x,3)=coeff(pol2,x,3);
> kp4:=coeff(pol1,x,4)=coeff(pol2,x,4);

> k:=solve({kp0,kp1,kp2,kp3,kp4},{A1,A2,A3,A4,A5});

> A1:=0; A4:=-2/3; A3:=2/3; A5:=-2/3; A2:=1;y1(x);

> int(y1(x),x);

Topilgan koeffitsientlar asosida berilgan kasirni sodda kasirlarga ajratilgan ko`rinishin yozamiz: 

Bebosita sodda kasirlarga ajratish:

> factor(x^5+x^2); 
> with(genfunc): rgf_pfrac((x^6+1)/(x^5+x^2), x);
> Int((x^6+1)/(x^5+x^2), x)=int((x^6+1)/(x^5+x^2),x);

Ba`zi bir trigonometrik ifodalarni integrallash

1. integralda R o`z argumentlarining ratsional funksiyasi bo`lsin. U holda, bu integralda umumiy trigonometrik almashtirish deb ataluvchi 
almashtirish yordamida ratsional funksiya integraliga kelinadi. Haqiqatdan ham,

ekanligini e`tiborga olsak,

,
bu yerda - ratsional funksiya.
1-misol. Bu almashtirish yordamida integrallar jadvalidagi 16-formulani keltirib chiqarish mumkin:

17-formula esa ekanligidan va 16-formuladan kelib chiqadi.

2-misol. integralni toping.
1) o`zgaruvchini almashtirish yordamida integralni topish.

> restart;

> with(student):
IA13:=changevar(x=2*arctan(t),Int(1/(1+sin(x)+cos(x)),x),t);

> IA13:=value(%);

> IA13:=changevar(t=tan(x/2), (IA13, t),x);

2) Bevosita integrallash.

> restart;
> Int(1/(1+sin(x)+cos(x)),x)=int(1/(1+sin(x)+cos(x)),x);

2. = , R sinx ga nisbatan toq ratsional funksiya.

Bu yerda ham umumiy almashtirishdan yoki qulayroq bo`lgan cosx=t dan foydalanish mumkin.
3-misol. bu integral sinx ga nisbatan toq:
= = - 
yordamida integralni cosx=t almashtirish bilan topamiz.

= 
1) o`zgaruvchini cosx=t kabi almashtirish bilan integralni topish.

> restart;
> with(student):
> IT4:=changevar(cos(x)=t,Int(sin(x)^3/(cos(x)-3),x),t);

> IT4:=value(%);

> IT4:=changevar(t=cos(x), (IT4, t),x);

2) Bevosita integrallash.

> restart;
> Int(sin(x)^3/(cos(x)-3),x)=int(sin(x)^3/(cos(x)-3),x);

= integralda R cosx ga nisbatan toq ratsional funksiya. 

Bu integral uchun ham yuqoridagi umumiy almashtirishni qilib ratsional funksiya integraliga kelish mumkin. Ammo, bu yerda sinx=t almashtirish (o`rniga qo`yish) qulayroq, chunki cosxdx=d(sinx) dir.

4-misol. bu integral cosx ga nisbatan toq:

= = - 
1) o`zgaruvchini sinx=t almashtirish yordamida integralni topish.
> restart;
> with(student):
> IT5:=changevar(sin(x)=t,Int(cos(x)^3/sin(x)^4,x),t);

> IT5:=value(%);

> IT5:=changevar(t=sin(x), (IT5, t),x);

2) Bevosita integrallash.

> restart;
> Int(cos(x)^3/sin(x)^4,x)=int(cos(x)^3/sin(x)^4,x);

integralda R- o`z argumentlarining ratsional funksiyasi

bo`lib, sinx va cosx larga nisbatan juft funktsiya bo`lsa: 

Quyidagich almashtirish qilamiz.

, 
5-misol. da juft bo`lgani uchun integralni tgx=t almashtirish yordamida topamiz.

1) o`zgaruvchini tgx=t almashtirish yordamida integralni topish.

> restart;
> with(student):
> IT8:=changevar(tan(x)=t,Int(1/(1+cos(x)^2),x),t);

> IT8:=value(%); 

> IT8:=changevar(t=tan(x), (IT8, t),x);

2) Bevosita integrallash.

> restart;
> Int(1/(1+cos(x)^2),x)=int(1/(1+cos(x)^2),x);

6-misol. da sinx va cosx larga nisbatan juft funktsiya bo`lgani uchun integralni tgx=t almashtirish yordamida topamiz.

Ekanini etiborga olib,
=
= 
1) o`zgaruvchini tgx=t almashtirish yordamida integralni topish.
> restart;
> with(student):
> IT9:=changevar(tan(x)=t,Int(1/(sin(x)^2-
4*sin(x)*cos(x)+ 5*cos(x)^2),x),t);

> IT9:=value(%); 

> IT9:=changevar(t=tan(x), (IT9, t),x);

2) Bevosita integrallash.

> restart;
> Int(1/(sin(x)^2-4*sin(x)*cos(x)+5*cos(x)^2),x)= int(1/(sin(x)^2-4*sin(x)*cos(x)+5*cos(x)^2),x);

5. , R –ratsional funksiya. umumiy almashtirishdan foydalanish mumkin. Ammo qulayroq bo`lgan 

almashtirishdan foydalansak,

ga kelamiz, bu yerda - ratsional funksiya. 

7-misol. | |= 
= =
=|t=tgx|= 
1) o`zgaruvchini tgx=t almashtirish yordamida integralni topish.
> restart;
> with(student):
> IT7:=changevar(tan(x)=t,Int(1/(tan(x)+1),x),t);

> IT7:=value(%); 

> IT7:=changevar(t=tan(x), (IT7, t),x);

2) Bevosita integrallash.

> restart;
> Int(1/(tan(x)+1),x)=int(1/(tan(x)+1),x);
8-misol. | |= 
= =|t=tgx|= 
1) o`zgaruvchini tgx=t almashtirish yordamida integralni topish.
> restart;
> with(student):
> IT10:=changevar(tan(x)=t,Int(tan(x)^3,x),t);

> IT10:=value(%); 

> IT10:=changevar(t=tan(x), (IT10, t),x);

2) Bevosita integrallash.

> restart;
> Int(tan(x)^3,x)=int(tan(x)^3,x);

9-misol. tgx=t almashtirish yordamida integralni topish

> restart;
> with(student):
> IT12:=changevar(tan(x)=t,int(tan(x)^5,x),t);

> IT12:=changevar(t=tan(x), (IT12, t),x);

10-misol. bu integralni topishda yuqoridagilardan farqli quyidagicha almashtrish qilamiz: 

Bu holda 

= 
1) o`zgaruvchini almashtirish yordamida integralni topish.
> restart;
> with(student):
> IT13:=changevar(2+3*sin(2*x)=t,
int(cos(2*x)/(2+3*sin(2*x))^(2/3),x),t);

> IT13:=changevar(t=2+3*sin(2*x), (IT13, t),x);

2) Bevosita integrallash.
> restart;
> Int(cos(2*x)/(2+3*sin(2*x))^(2/3),x)=
int(cos(2*x)/(2+3*sin(2*x))^(2/3),x);

3. Sinus va kosinus toq darajali bo`ganda integrallash

a) 
bu yerda t=cosx.
b) 
bu yerda t=sinx.
> restart;
> IT3m:=Int(sin(x)^(2*m+1),x)=int(sin(x)^(2*m+1),x);

> m:=1:IT3m; 

> m:=2:IT3m;

11-misol.. integralni hisoblang.

YEchish. va ekanligini hamda
almashtirish kiritib, quyidagini hosil hilamiz: 

> restart;

> IT5m:=Int(sin(x)^3*cos(x)^4,x)=int(sin(x)^3*cos(x)^4,x);

4. Sinus va kosinus juft darajali bo`ganda integrallash

Bunday integralda darajani pasaytirish formulalaridan foydalanish mumkin:
a) ;
b) .
12-misol. 

.
> restart;

> IT2m:=Int(sin(x)^(2*m),x)=int(sin(x)^(2*m),x);
> m:=1:IT2m; 

> m:=2:IT2m;

13-misol. integralni hisoblang.
YEchish. Trigonometrik funktsiyalarning darajalarini pasaytirish formulalaridan foydalanib, quyidagi natijaga kelamiz: 

> restart;

> Int(sin(x)^2*cos(x)^4,x)=int(sin(x)^2*cos(x)^4,x);

5. Asosiy trigonometrik funksiyalarning darajalari ixtiyoriy butun ko`rsatkichli bo`lganda integrallash

a) deyilik.
Bu integralda n=–2;–1;0;1 bo`lsa, jadval integrallarini olamiz, ya`ni

(1)

Aytaylik, n ning qiymati bu ko`rilgan qiymatlardan farq qilsin, u vaqtda,

ni bo`laklab integraliaymiz:

.
Buni Sn ga nisbatan yechib, 
n=2,3,… (2)
ga nisbatan yechib esa,
, n=-1,-2,… (3)
rekkurrent formulalarni olamiz. Bu (2) va (3) lar yordamida (1) ni hisobga olgan holda nZ uchun Jn integrallarni topa olamiz.
b) , (n Z) bo`lsin.
Bu integral n= –2; –1; 0; 1 bo`lganda jadval integrallaridir, ya`ni
(4)
Endi n ning boshqa butun qiymatlarini qaraymiz. Oldingi banddagidek ishlarni bajarib,
(5)
(6)
rekkurrent formulalarni olamiz.
c) deylik
T-1¬ =ln|sinx|+C, T0=x+C, T1 = – ln |cosx|+C (7)
jadval integrallaridir.

Bundan 
n=2,3,… (8)

yoki
n= 0,-1,-2,… (9)
rekkurrent formula larni olamiz.
14-misol. 1) 

> restart;

> IT5m:=Int(sin(x)^(-(2*m+1)),x)=int(sin(x)^(-(2*m+1)),x);

> m:=1:IT5m;

> m:=2:IT5m;

2) 
> restart;

> IT4m:=Int(cos(x)^(-2*m),x)=int(cos(x)^(-2*m),x);

> m:=1:IT4m;

> m:=2:IT4m;

3) 
a) > restart;

> IT7m:=Int(cot(x)^(-2*m-1),x)=int(cot(x)^(-2*m-1),x);

> m:=1:IT7m;

b) > restart;
> IT8m:=Int(tan(x)^(2*m+1),x)=int(tan(x)^(2*m+1),x);

> m:=1:IT8m;

> m:=2:IT8m; 
ADABIYOTLAR:

1. T. Jo`rayev va boshqalar. Oliy matematika asoslari. T. «O`zbekiston», 1995 y. I, II qism.

2. Y. U. Soatov. Oliy matematika. T. «O`qituvchi», 1994 y. I qism.
3. SH.I. Tojiyev. Oliy matematikadan masalalar yechish. T.,”O`zbekiston”, 2002 y
4. A.G. Kurosh. Kurs visshey algebri. M. «Nauka». 1971 g.
5. Fixtengols G.M. Differensial va integral hisob kursi. I tom. T.1951y.
6. Uvarenkov I.M., Maler M.Z. Kurs matematicheskogo analiza. I tom. M. 1966 g.
7. Frolov S.V., Shostak R.Y. Kurs visshey matematike. I tom. M. 1973 g. 
8. L.S. Pontryagin. Obiknovenniye differensialniye uravneniya. M., «Nauka», 1970g.
9. N.S Piskunov. Differensialniye i integralnoye ischisleniye dlya 
10. VTUZ ov. M. Nauka, v 2 x chastyax, 1985 g. 
11. I.A Maron. Differensialniye i integralnoye ischisleniye v primerax i zadachax(funksii odnoy peremennoy) dlya VTUZ ov. M. Nauka, 1970 g. 
12. E.F. Fayziboyev, N.M. Sirmirakis. Integral hisob kursidan amaliy mashg`ulotlar. T. “O`qituvchi”, 1982 yil.
13. M.J.Mamajonov, A.Abdurazoqov va boshqalar. Oliy matematikadan ma`ruzalar to`plami. FarPi., 2008 y

Teglar: restart integrallash ratsional almashtirish integralni yordamida topish withstudent yerda mumkin Bevositasodda o96zgaruvchini nisbatan integralda olamiz funksiya trigonometrik uchun bilan