Referat Bajardi: Lutfullayeva Maftuna. Guruh: pp(M) -1-5 Qabul qildi: Jamshid Elmurodov

3.⁰ Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalar.

Agarda M ko‟phadning barcha hadlari x va y larga nisbatan bir xil darajaga ega bo‟lsa, bunday ko‟phadga bir jinsli ko‟phad deyiladi, masalan: M₁=x²y+xy²+y³, ko‟phad 3-

darajali, M₂= 2x²+3xy+5y² ko‟pxad 2-darajali, M₃=2 darajali bir jinsli ko‟phadlarga misol bo‟ladi.
Rdx+Qdy=0, (1)
+ 5х - 7 у
ko‟pxad esa 1-

ko‟rinishdagi tenglamada R va Q x va y ga nisbatan bir xil darajali ko‟phaddan iborat bo‟lsa, bu tenglamaga bir jinsli differensial tenglama deyiladi.
Bunday tenglamani qanday yechishni aniq misolda ko„rsatamiz. Misol.
y²dx+(x²-xy)dy=0, (2)
tenglamani yechishni qaraymiz, bu yerda R=y² va Q=x²-xy bo‟lib, ular 2-tartibli bir jinsli funksiyalardir, shu sababdan (2) tenglama bir jinslidir. (2)dan

dy ₌
dx
_y 2
,
xy - x ²
(3)

y=zx (4)
almashtirish bajarsak, bu yerda z, x ning yangi funksiyasi, (4) ni differensiallab

^dy = z + x ^dz ,
(5)

dx

3. 
   va (5) dan y va
   

dx
^dy larni qiymatlarini (3) tenglamaga qo‟ysak:
z + x ^dz =


_z 2 _x2
,

yoki
dz z ²
dx


dz z
dx zx² - x²

z + x =
dx



z -1
bundan
x =
dx z -1
o„zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga ega bo„lamiz.

O„zgaruvchilarni ajratsak
z -1 _{dz =} dx

z x
yoki
æ ¹ ö

ç^{1 -}
_÷dz = ^dx . Bu tenglikni integrallab
z - ln z
= ln x + ln С ,
C ¹ 0 -o‟zgarmas son.

_è z _ø x

z=lne^z ni e‟tiborga olib lne^z=lnçCxzç yoki e^z=Czx, (4) dan
(2) yoki (3) tenglamani umumiy yechimini topamiz:
y
z = ^y ni ohirgi tenglikka qo‟yib,
x


e ^x = Сy,

Ushbu

4⁰_. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar.

^dy + a(x) y = b(x), dx
(1)

ko‟rinishdagi tenglamalarga birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar deyiladi,

tenglamani chiziqli deyilishiga sabab, noma‟lum y funksiya va uning hosilasi
_{у / =} dy
dx

birinchi darajada tenglamada qatnashyapti, bu yerda a(x) va b(x) xÎX da berilgan, aniqlangan va uzluksiz funksiyalardir. Xususiy holda a(x) va b(x) lar o‟zgarmas sonlar ham bo‟lishi mumkin.
Agar (1) tenglamaning o‟ng tomoni b(x)¹0 bo‟lsa, bu tenglama chiziqli bir jinsli bo‟lmagan tenglama deyiladi. Agar b(x)=0 bo‟lsa (1) tenglama chiziqli o‟zgaruvchilari ajralgan tenglama bo‟ladi. b(x)¹0 bo‟lsin, ya‟ni (1) tenglama bir jinsli bo‟lmasin deylik. (1) tenglamani o‟rniga qo‟yish usuli

Bu tenglamaning ikkala qismini yerdan
_eò a( x)dx_dx
ga ko‟paytiramiz
Сdu = b(x)e
_ò a( x)dx_dx
, bu

^é ò
1
u = _{C êëò}b(x)e
a( x)dx
dx + C ^ù,
1 _úû
C₁ = const
(8)

(7) va (8) ni (2) ga qo‟ysak, (1) tenglamani umumiy yechimini hosil qilamiz:

у = e
-_ò a( x)dx <sub>é

ò</sub>b(x)e
ê_ë
ò a( x)dx
dx + C ^ù,
1 _úû
(9)

Ko‟pincha, (5) tenglamani (6) umumiy yechimida C=1 deb olish, ya‟ni (5) ning noldan

farqli birorta xususiy yechimini

• 
  a( x)dx
  

ò
v = e deb olsa ham bo‟ladi. Yuqorida ko‟rib

chiqilgan o‟rniga qo‟yish usuli bitta (1) chiziqli tenglamani
integrallash masalasini o‟zgaruvchilari ajraladigan ikkita (5) va (7) tenglamalarning yechimlarini topishga olib keladi.
Agar (1) tenglamaning y(x₀)=y₀ boshlangich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topish kerak bo‟lsa, (9) umumiy yechimdagi aniqmas integrallarni yuqori chegarasi o‟zgaruvchi bo‟lgan aniq integrallar bilan almashtirish qo‟laydir. Bunday almashtirishda (9) formula ushbu ko‟rinishni oladi:

é
x

• 
  _ò a(t)dt
  

t

ù

o
_ò a(s)ds

у = e ^{xo
ê x} x

ê

ê
_ò b(t)e x_o
ë
ú
dt + C_{1 ú},
ú_û
(10)

bu yerda x₀ –ixtiyoriy tayinlangan son, x₀ÎX. (10) tenglikdan y(x_o)=y₀ boshlang‟ich shartga ko„ra C₁ o‟zgarmasni qiymatini aniqlash mumkin:
^xо é ^t ù

• 
  
  0
  _ò ^a(t)dt x
  

x _ê
ò a(S )dS _ú

у(х_о ) = у₀ = e ^o
_ê ò

x
_êë 0
b(t)e ^xo
dt + C_{1 ú},
ú_û
chegaralari bir xil bo‟lgan aniq

integrallarni qiymati nolga teng bo‟lgan aniq integrallarni qiymati nolga teng bo‟lgani uchun C₁=y₀ ni topamiz. Natijada (1) tenglamani y(x_o)=y₀ boshlang‟ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini qo‟yidagi shaklda hosil qilamiz.

x é
- _ò ( ) _ê
t

ù
_ò a(S )dS
_x ú

у = e
a t dt
x_o
ê ^у₀ ⁺
ê
ê_ë
x
_ò b(t)e ^o
x₀
^dt ú^,
ú
ú_û

Misol . х ^{2 dy} - 2xy = 3 tenglamani yeching.
dx
Yechish : Avvalo berilgan tenglamani (1) chizikli tenglama shakliga keltirish uchun uni ikkala tomonini x²¹0 ga bo‟lamiz:
dy _{- 2 ×} y ₌ 3
dx x x ²

y = u × v ni va
dy _{= u} dv _{+ v} du
larni tenglamaga qo‟ysak:

dx dx
u( ^dv - 2 × ^v ) + v ^du = ³
dx
(*) v ni shunday tanlaylikki

dx x
dx x²

^dv - 2 ^v = 0 bo‟lsin. Oxirgi tenglamada o„zgaruvchilarni ajratsak:
dx x

Xulosa

Differensial tenglama deb erkli o’zgaruvchi x, noma’lum y=f(x) funksiya va uning u^', u^'’,.....,u⁽ⁿ⁾ hosilalari orasidagi bog’lanishni ifodalaydigan tenglamaga aytiladi.

Agar izlangan funksiya y=f(x) bitta erkli o’zgaruvchining funksiyasi bo’lsa, u holda differensial tenglama oddiy differentsial tenglama, bir nechta o’zgaruvchilarning funksiyasi bo’lsa u=U(x₁, x₂,...., x_n) xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.

Differensial tenglamaning tartibi deb tenglamaga kirgan hosilaning eng yuqori tartibiga aytil

Differensial tenglamaning yechimi yoki integrali deb differensial tenglamaga qo’yganda uni ayniyatga aylantiradigan har qanday y=f(x) funksiyaga aytiladi.

Foydalanilgan adabiyotlar.

1. 
   M.S.Salahiddinov, G.N.Nasriddinov. Oddiy differensial tenglamalar. Toshkent
   

„O‟zbekiston‟ 1994-yil.

2. 
   Qori-Niyoziy T.N. Tanlangan asarlar 4-tom, differensial tenglamalar, Toshkent 1968-yil.
   
3. 
   A.U.Abduhamidov, N.A.Nosirov, U.M.Nosirov, J.H.Husanov. Algebra va matematika analiz asoslari II-qism. Akademik l ;itsiylar uchun darslik, Toshkent
   

„O‟qituvchi 2003-yil‟.

4. 
   Sh.I.Tojiyev. Oliy matematikadan masalalar yechish. Toshkent „O‟zbekiston‟ 2002-yil.
   
5. 
   X.R.Latipov, F.U.Nosirov,Sh.I.Tojiyev. Differensial tenglamalarning sifat nazariyasi va uning tatbiqlari. Toshkent O‟zbekiston‟ 2002-yil.
   
6. 
   Y.U.Soatov Oliy matematika III-qism Toshkent „O‟zbekiston‟ 1996-yil.
   
7. 
   R.S.Guter, A.R.Yanpolskiy. Differensial tenglamalar. Toshkent „O‟qituvchi‟ 1978-yil.
   
8. 
   V.E.Shneyder, A.I.Slutskiy, A.S.Shimov, Oliy matematika kursi Toshkent
   

„O‟qituvchi‟ 1987-yil.

9. 
   А.М.Самойленко и др Дифференциальные уровнения : примеры и задачи. М.1989 г.
   

Степанов В.В. Курс дифференциальные уровнений, М. 1958г