Reciprocating compressor lubrication

Equation 18
 
However, now we must come up with another boundary condition. For the right boundary 
condition, the pressure is unknown. However, upon inspection of Figure 23, we can say one 
thing about the pressure at this location: it must be a maximum. This is evident from a 
knowledge of flows between parallel, flat plates as the flat portion of the piston ring cannot build 
up any pressure. Similarly, the sloped section on the right side of the piston ring cannot build up 
any pressure. This allows us to return to Equation 9 and say that we now know the value of
ℎ
𝑚
must be equivalent to the height at the outlet 
(ℎ
0
)
which allows us to write: 
ℎ
𝑚
= ℎ
0
→ 𝐻
𝑚
= 𝐻
0
Equation 19
 
Substituting Equation 18 and Equation 19 into Equation 15 yields:
𝑃̅
1,𝑔𝑎𝑠
= 6 (
1
𝐻
0
+ 1 −
𝐻
0
2(𝐻
0
+ 1)
2
) + 𝐴̅ 
Equation 20
 

---

37 
We use Equation 20 to solve for 
𝐴̅
yielding: 
𝐴̅ = 𝑃̅
1,𝑔𝑎𝑠
− 6 (
1
𝐻
0
+ 1 −
𝐻
0
2(𝐻
0
+ 1)
2
)
Equation 21
 
We can now substitute Equation 19 and Equation 21 back into Equation 15 yielding our final 
solution: 
𝑃̅ = 𝑃̅
1,𝑔𝑎𝑠
+ 6 {(
1
𝐻 −
𝐻
0
2𝐻
2
) − (
1
𝐻
0
+ 1 −
𝐻
0
2(𝐻
0
+ 1)
2
)} 
Equation 22
 
Which can be converted back to dimensional variables as:
𝑃 = 𝑃
1,𝑔𝑎𝑠
+ (
6𝜇𝑈𝑙
𝑠
ℎ
2
)
{
(
1
( ℎ
𝑠
ℎ
)
−
(ℎ
0
𝑠
ℎ
)
2 ( ℎ
𝑠
ℎ
)
2
)
−
(
1
(ℎ
0
𝑠
ℎ
) + 1 
−
(ℎ
0
𝑠
ℎ
)
2 ((ℎ
0
𝑠
ℎ
) + 1)
2
)
}
(𝑓𝑜𝑟 ℎ
2
< ℎ < ℎ
1
) 
 
Equation 23
 
We can also find the pressure at the outlet as: 
𝑃̅|
𝑥
3
= 𝑃̅
1,𝑔𝑎𝑠
+ 6 (
1
𝐻
0
−
𝐻
0
2𝐻
0
2
) + −6 (
1
𝐻
0
+ 1 −
𝐻
0
2(𝐻
0
+ 1)
2
)
Equation 24
 
 
Which can be converted back to our dimensional variables as:
𝑃 = 𝑃
1,𝑔𝑎𝑠
+ (
6𝜇𝑈𝑙
𝑠
ℎ
2
)
{
(
1
(ℎ
0
𝑠
ℎ
)
−
(ℎ
0
𝑠
ℎ
)
2 (ℎ
0
𝑠
ℎ
)
2
)
−
(
1
(ℎ
0
𝑠
ℎ
) + 1 
−
(ℎ
0
𝑠
ℎ
)
2 ((ℎ
0
𝑠
ℎ
) + 1)
2
)
}
 
Equation 25
 

---

38 
From here a variable substitution can convert between the solution for the fixed-incline slider or 
the piston ring entrance as shown in Figure 24. 
2.3.2 - Diverging Section 
For the diverging section on the right hand side of the piston ring in Figure 24, we note that the 
slope is the opposite from the previously investigated section. We will again begin with the 
integrated incompressible, iso-viscous, steady-
state form of Reynold’s equation given as: 
𝑑𝑃
𝑑𝑥 = 6𝜇𝑈
ℎ − ℎ
𝑚
ℎ
3
− 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 −
𝑑𝑃
𝑑𝑥|
ℎ=ℎ
𝑚
= 0