Reciprocating compressor lubrication

Equation 9
 
Where
𝑃
represents the pressure,
𝑥
represents the direction parallel to the piston ring’s motion
, 
𝜇
represents 
the lubricant’s dynamic viscosity, 
𝑈
represents the speed of the piston ring, 
ℎ
represents the separation between the compressor cylinder and the piston ring, and 
ℎ
𝑚

---

33 
represents the film thickness where the first derivative of pressure with respect to 
𝑥
is zero. The 
piston ring geometry is shown in more detail in Figure 23 with the x-axis representing the 
compressor cylinder. 
Figure 23: Piston ring geometry for use in derivations 
2.3.1 - Converging Section 
Looking closely at Figure 23, one notices that the left side of the piston ring will be subjected to 
the same physics as a fixed-inclined slider with only some slight differences on the boundary 
conditions as shown in Figure 24. 

---

34 
Figure 24: Comparison of the canonical slipper pad problem and the current situation. 
Investigating Figure 24 in more detail shows that with a few change in variables, the canonical 
fixed-incline slider bearing can be converted to the left hand side of the piston ring currently 
under investigation. Aside from the variable changes, there is also a change of the boundary 
conditions. The canonical situation assumes the inlet and outlet gas pressures are equal to 
atmospheric pressure while our situation assumes only the inlet gas pressure is known. This 
presents an added difficulty that will be addressed shortly.
We now follow the canonical solution for the fixed-incline slider as presented by Hamrock, 
Schmid, and Jacobson (2004) with some slight changes. First, the geometry of the inclined 
slider is defined as:
ℎ = ℎ
0
+ 𝑠
ℎ
(1 −
𝑥
𝑙
)
Equation 10
 

---

35 
Equation 9 and Equation 10 are often nondimensionalized as demonstrated Hamrock, Schmid, 
and Jacobson (2004) using:
𝑃̅ =
𝑃𝑠
ℎ
2
𝜇𝑈𝑙 𝐻 =
ℎ
𝑠
ℎ
𝐻
𝑚
=
ℎ
𝑚
𝑠
ℎ
𝐻
0
=
ℎ
0
𝑠
ℎ
𝑋 =
𝑥
𝑙
Equation 11
 
Which produces:
𝑑𝑃̅
𝑑𝑥 = 6 (
𝐻 − 𝐻
𝑚
𝐻
3
)
Equation 12
 
𝐻 = 𝐻
0
+ 1 − 𝑋
Equation 13
 
𝑑𝐻
𝑑𝑋 = −1
Equation 14
 
Integrating Equation 12 yields:
𝑃̅ = 6 (
1
𝐻 −
𝐻
𝑚
2𝐻
2
) + 𝐴̅ 
Equation 15
 
This leaves one equation with two unknowns; 
𝐻
𝑚
which is the nondimensionalized film 
thickness where the first derivative of pressure with respect to 
𝑥
is zero and an integration 
constant 
𝐴̅. 
Now, the canonical solution calls for the application of the following boundary 
conditions: 

---

36 
𝑃̅ = 0 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝑋 = 0 𝑜𝑟 𝐻 = 𝐻
0
+ 1 
Equation 16
 
𝑃̅ = 0 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝑋 = 1 𝑜𝑟 𝐻 = 𝐻
0
Equation 17
 
This is where our path must diverge from the canonical solution as we do not have the same 
boundary conditions. We have a similar pressure boundary condition at the inlet allowing us to 
write: 
𝑃̅ = 𝑃̅
1,𝑔𝑎𝑠
𝑤ℎ𝑒𝑛 𝑋 = 0 𝑜𝑟 𝐻 = 𝐻
0
+ 1