Распределение Релея, Вейбулла и Парето и их применение

МИИСТРЕСТВО ПО РАЗВИТИЮ
ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И
КОММУНИКАЦИЙ РУСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН
Ташкентский университет
Информационных технологий
Факультет –“Телекоммуникационные технологии”
Телекоммуникации
MTH202(2- курс)
Самостоятельная работа №1
Тема:” Распределение Релея, Вейбулла и Парето и их применение”
По предмету Вероятность и статистика
Выполнил:Султанов М.С
Приняла:Чай З.С
План:

1. Распределение Релея

2.Распределение Вейбулла
3.Распределение Парето
4.Применение распределений


Опред: Распределение Рэлея(названное в честь Уильяма Стратта) - это непрерывное распределение вероятностей, используемое для моделирования случайных величин, которые могут принимать только значения, равные или большие нуля.
Оно поддерживаемое на интервале  и параметризованное положительным вещественным числом σ (называемым "масштабным параметром распределения"), которое определяет общее поведение его функции плотности вероятности (PDF)

диаграмма показывает форму распределения Рэлея
Распределение Рэлея имеет следующую связь с другими распределениями вероятностей:
1.  Когда параметр масштаба (σ) равен 1, распределение Рэлея равно распределению хи-квадрат с 2 степенями свободы.
2. Распределение Рэлея является частным случаем распределения Вейбулла с параметром формы k = 2.
3.  Распределение Рэлея с масштабным параметром σ равно распределению Райса с Rice(0, σ).
1)Функция плотности вероятности:
где σ - масштабный параметр распределения.

2. 
   Рассмотрим двумерный вектор X=(Y,V), компоненты которого подчиненных закону Гаусса. Тогда
   
   

Функция распределения имеет вид:
где - среднее квадратическое отклонение исходного двухмерного распределения

Графики функции распределения Рэлея показаны z(плотность вероятности) и M(z) математическое ожидание почему именно 1,253 вычислим позже
Значение является параметром закона Рэлея.
Максимальное значение плотности равно и достигается при

графики плотности распределения Рэлея при различных
3) Математическое ожидание.

4)Дисперсия.

Следовательно,

5. 
   Среднее квадратическое отклонение.
   

6) Ассиметрия.


7)
8) Мода есть , а максимальный pdf (функции плотности вероятности) есть.

Пример:
Чтобы проиллюстрировать использование распределения Рэлея, рассмотрим стрельбу из лука по мишени диаметром 54 см, с центром которой совпадает началом прямоугольной системы координат. Расстояния от него до точек попадания стрел — это случайные величины, имеющие X и Y ортогональные составляющие (случайный вектор) Пусть средние квадратические отклонения разброса по абсциссе и ординате одинаковы и равны 5,6 см σx = σу = 5,6 см Расстояние от точки попадания стрелы до центра мишени (отклонение разброса) будет случайной величиной с распределением Рэлея, плотность вероятности для которой записывается в виде

Используя полученные выше результаты найдем, что математическое ожидание разброса есть R = = 0.429*2.3=1.01 см При помощи функции распределения вероятностей найдем вероятность непопадания в мишень:
P(не попадет в мишень)=
Аналогично, приняв диаметр яблочка мишени равным 2, 04 см, найдем, что
вероятность попадания в него будет P(попадание в яблоко)=


Опред: Распределение Вейбулла - это непрерывное распределение вероятностей, которое может соответствовать широкому диапазону форм распределения. 
Как и нормальное распределение, распределение Вейбулла описывает вероятности, связанные с непрерывными данными. Это распределение является необычайно универсальным распределением вероятностей, потому что оно может соответствовать различным формам. Он может даже приблизить нормальное распределение и другие распределения.

Распределение названо в честь шведского математика Володди Вейбулла, который представил его Американскому обществу инженеров-механиков (ASME) в 1951 году. Однако Вейбулл не обнаружил этого распределения. Действительно, другие математики использовали это распределение вероятностей в течение десятилетий. Одним из первых применений этого метода было моделирование размеров частиц в 1933 году.
1)Функция плотности вероятности случайной величины Вейбулла

Здесь λ= β (парметр масштаба)