Raqamli qurilmalarni loyihalashga kirish” fanidan laboratoriya ishlari farg’ona 2022

A	B
A Λ B
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

A va B mulohazalarning kamida bittasi rost boʻlganda rost boʻladigan yangi murakkab mulohazani hosil qilish amali mantiqiy qoʻshish amali deb ataladi.
Bu amalni dizyunksiya (lotincha: disjunctio – ajrataman) deb ham atashadi Mantiqiy qoʻshish amali ikki yoki undan ortiq sodda mulohazalarni “YOKI” bogʻlovchisi bilan bogʻlaydi hamda va “A yoki B”, “A or B” , “A V B”, “A + B” kabi koʻrinishlarda yoziladi.
Mantiqiy qoʻshish amalining rostlik jadvali quyidagicha:

A	B	A V B
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

A mulohaza rost boʻlganda yolgʻon, yolgʻon boʻlganda esa rost qiymat oladigan mulohaza hosil qilish amali mantiqiy inkor amali deb ataladi.
Bu amalni inversiya (lotincha: Inversio – to’ntaraman) deb ham atashadi Mantiqiy inkor amali “A EMAS” , “not A” , “ ᒣ A” , “” koʻrinishlarda yoziladi. Mantiqiy inkor amalining rostlik jadvali quyidagicha:

A	ᒣ A
1	0
0	1

Koʻrinib turibdiki, mantiqiy oʻzgaruvchilar, munosabat­lar, mantiqiy amallar va qavslar yordamida mantiqiy ifodalar hosil qilish mumkin ekan.
Mantiqiy ifodalarda mantiqiy amallar quyidagi tartibda bajariladi: inkor ( ù ), mantiqiy koʻpaytirish ( Ù ), mantiqiy qoʻshish ( Ú ).
Teng kuchli yoki bir xil amallar ketma-ketligi bajarilayotganda amallar chapdan oʻngga qarab tartib bilan bajariladi, ifodada qavslar ishtirok etganda dastlab qavslar ichidagi amallar bajariladi. Ichma-ich joylashgan qavslarda eng ichkaridagi qavs ichidagi amallar eng avval bajariladi.
Mantiqiy amallarga misollar keltiramiz.
1–misol. A mulohaza rost qiymat qabul qilsa, “A va (A EMAS)” mulohazaning qiymatini aniqlang.
Yechish. A rost qiymat qabul qilganligi uchun (A EMAS) yolgʻon qiymatga ega boʻladi. U holda rost va yolgʻon qiymatlarning koʻpaytmasidan (“VA” amali) yolgʻon natijaga ega boʻlamiz. Shunday qilib, javob “yolgʻon” ekan.
2–misol. A va B mulohazalar rost qiymat qabul qilganda A Λ B V A mulohazaning qiymatini aniqlang.
Yechish. I usul. A va B mulohazalar rost qiymatli boʻlganligi uchun A Ù B amal rost qiymat qabul qiladi. U holda jadvalga koʻra ikkita rost qiymatni mantiqiy qoʻshishdan rost qiymat hosil boʻladi. Javob: rost.
II usul. 1 · 1 + 1 = 1 + 1 = 1. Javob: rost.
3–misol. (Е > D) Λ A Λ ᒣB mantiqiy ifodaning qiymatini D = 3,2 va E = –2,4, A = “rost” va B = “rost” bo’lganda hisoblang.
Yechish. I usul. (–2,4 >3,2) munosabat notoʻgʻri boʻlganligidan bu mulohaza “yolgʻon” boʻladi. Demak, A mulohazaning qiymati “rost” bo’lsa ham (Е > D) Λ A mulohaza qiymati “yolgʻon” bo’ladi. B mulohazaning qiymati “rost”, shuning uchun ᒣB mulohaza “yolgʻon” qiymatli boʻladi. U holda (Е > D) Λ A Λ ᒣB mantiqiy ifoda “yolgʻon” qiymat qabul qiladi. Javob: yolgʻon.
II usul. (–2,4 > 3,2) · 1 · 0 = 0 · 0 = 0. Javob: yolgʻon.
4-masala. D V ᒣB Λ A mantiqiy ifodaga mos rostlik jadvalini tuzing.
Yechish. Avval jadvalning birinchi uch ustuniga A, B, D mulohazaning qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlarini yozib olamiz (7-sinfdagi ovoz berish natijalari jadvalini eslang). So’ng bajarilish tartibiga asosan amallarni yozib boramiz:

A	B	D	ᒣ B	ᒣ B Λ A	D V ᒣB Λ A
1	1	1	0	0	1
1	1	0	0	0	0
1	0	1	1	1	1
1	0	0	1	1	1
0	1	1	0	0	1
0	1	0	0	0	0
0	0	1	1	0	1
0	0	0	1	0	0

Mantiqiy amallar mantiq ilmida ham algoritmik tafakkurni rivojlantirishda ham juda katta ahamiyatga ega. Masalan, quyidagi masalani qaraylik.
5-masala. Bir kishi aytdi “Men yolg’onchiman yoki qora sochliman”. U kishi kimligini aniqlang.
Yechish. Masala shartidagi mulohazalar uchun belgilashlar kiritamiz:
D= “Men yolg’onchiman yoki qora sochliman”;
A= “Men yolg’onchiman”; B= “Qora sochliman”
U holda masala shartidagi murakkab mulohazani shunday yoza olamiz: D=A YOKI B. Bu amal uchun rostlik jadvali quyidagicha ko’rinishda bo’ladi:

A	B	D=A YOKI B
rost	rost	rost
rost	yolg’on	rost
yolg’on	rost	rost
yolg’on	yolg’on	yolg’on

Endi masala yechimini topish uchun quyidagicha mulohaza yuritamiz:
a) agar A mulohaza “rost” bo’lsa, u holda masala shartidagi mulohazani aytgan kishi yolg’onchi bo’ladi va shuning uchun uning hamma gapi yolg’on. Demak, D mulohaza “yolg’on” bo’lishi kerak. Lekin jadvaldan ko’rinadiki, A mulohaza “rost” bo’lganda D mulohaza “yolg’on” bo’la olmaydi.
b) agar A mulohaza “yolg’on” bo’lsa, u holda masala shartidagi mulohazani aytgan kishi rostgo’y bo’ladi va, tabiiyki, uning hamma gapi rost. Demak, D mulohaza “rost” bo’lishi kerak. Jadvaldan ko’rinadiki, bunday hol faqat A mulohaza “yolg’on” va B mulohaza “rost” bo’lsagina o’rinli.
Javob: masala shartidagi da’voni aytgan kishi rostgo’y va qora sochli ekan.
Mulohazalar va ular ustida bajariladigan mantiqiy amallar birgalikda mulohazalar algebrasi deb yuritiladi. Mulohazalar algebrasining asosiy vazifalaridan biri har qanday murakkab mulohazalarning rost yoki yolg’onligini isbotlashdan iborat. Lekin berilgan murakkab mulohazadagi sodda mulohazalar va ularni bog’lovchi mantiq amallar ortgan sari mazkur mulohazaning rostlik jadvalini tuzish qiyinlasha boradi. Bu qiyinchilikni bartaraf etish uchun mulohazalar algebrasining formulasi va o’zaro teng kuchli formulalar tushunchalarini kiritiramiz.
X,Y,Z, … lar mulohazalar algebrasining formulalaridir.Agar X va Y mulohazalar algebrasining formulalari bo’lsa, u holda  X, XY, XY, XY va XY lar ham formula bo’ladi. Mulohazalar algebrasi yuqoridagilardan boshqa formulalarga ega emas. Ko’p hollarda  X, XY, XY, XY va XY lar orqali aniqlangan formulalr murakkab formulalar deb yuritiladi.
Mantiqiy funksiyaning rostlik qiymati {1, 0} to’plam elеmеntlaridan iborat. Aniqlanish va o’zgarish sohalari {1, 0} to’plamdan iborat bo’lgan funksiyalarga Bul funksiyaslari dеyiladi (D. Bul – angliyalik mashhur mantiqchi va matеmatik).
Bul funksiyasi
D jordj Bul 1815 yil 2 noyabr kuni Angliyaning Linkoln shahrida ilm bilan shug’ullanuvchi Djon Bul oilasida tavallud topgan. Dastlabki ilm saboqlarini otasi Djon Buldan olgan. O’n olti yoshida Donkasterdagi hususiy maktab o’qituvchisi yordamchisi sifatida faoliyatini boshlagan Djordj Bul butun hayoti davomida turli lavozimlarda o’qituvchilik qildi. Asosiy ish joyi Kork qirolligi kolleji.Uning ilmiy maqolalarining 22 tasi «Kembridjning matematik jurnal»i va «Kembridj va dublin matematik jurnal»ida, 16 tasi «Falsafiy jurnal»i (Philosophical Magazine) chop etilgan, 6 memuarlari, bir qator izlanish natijalari boshqa jurnallarda (Transactions of the Royal Society of Edinburgh and of the Royal Irish Academy), S.-Peterburg akademiyasining «Vestnik» va Krell jurnallarida, «Jurnalda mehanika» jurnallarida chop etilgan. Umumiy olganda Bul tomonidan 50 dan ortiq ilmiy maqolalar va birnechta monografiyalar chop ettirilgan.
Djordj Bul 49 yoshida 1864 yil 8 dekabr kuni Irlandiyaning Ballintempl shahrida olamdan o’tgan.
Axborot almashish: kodlash va dekodlash jarayonlarida keng qo’llaniladigan funksiyalardan biri - Bul funksiyasi hisoblanadi.
Bul funksiyasi – argumenti hamda unga mos funksiyasi ikki elementli to’plam {0,1} ga tegishli qiymatni qabul qiluvchi funksiyadir. Bu to’plamni bir elementli darajaga tushirib bo’lmaydi, chunki funksiya tushunchasiga zid bo’ladi. Shunday qilib Bul funksiyasi funksiyalar ierarxiyasining eng birinchi qatlamini egallaydi.
1-ta'rif: {0,1} to’plam qiymatini qabul qiluvchi x o’zgaruvchi bul (mantiqiy, ikkilik) o’zgaruvchisi deyiladi. Ikkilik o’zgaruvchilar ikkilik sanoq sistemasida ma'lumotlarni uzatishda foydalaniladi.
2-ta'rif: bul o’zgaruvchisi orqali aniqlanuvchi hamda {0,1} to’plam qiymatini qabul qiluvchi funksiya Bul funksiyasi deyiladi.
Agar F funksiya x₁,x₂,...,x_n ga bog’liq bo’lsa, u holda F=F(x₁,x₂,...,x_n) bo’ladi.
Aniqlanish sohasi chekli bo’lganligi uchun bul funksiyasini quyidagi jadval ko’rinishida berish qulaydir: