Raqamli kutubxona Kibernetikadan matematik masalalar

§ 2. Umumiy yondashuvlar va usullar
chegara funktsiyalarini o'rganishda
1. Fazoning giperplanlar orqali bo‘linishi. Bir oz ruxsat bering
f: {0, 1} n {0, 1} chegara funksiyasi (1) ko‘rinishda qiymatlar to‘plami bilan berilgan.
parametrlari i ?,. nb, to'plamni / -1 (0) dan qat'iy ravishda ajratib turadi
/ !(1). Bunday holda, to'p ichida yotgan barcha nuqtalar (a \, ..., nn, 6).
(n?, n *, b) da (u +]) da markazlashtirilgan etarlicha kichik radius - o'lchovli
bo'sh joy, xuddi shu funktsiyani o'rnatadi. Savol tug'iladi:
ko'rsatadigan parametr qiymatlari to'plami
chegara funktsiyasi berilganmi? Bunga javob berish uchun undan foydalanish qulayroqdir
vakillik (4). Funktsiyaning har bir cho'qqidagi qiymati ye {-1, \} n
parametrlar qiymatiga ao + a \ y \ + ... ko'rinishidagi cheklovni qo'yadi.
• • • + pē / ē> 0, ya'ni nuqta (pō, a \, ..., an) bittaga tegishli bo'lishi kerak.
f (y) qiymatiga qarab ikkita yarim bo'shliqdan iborat. Qavariq
2n bunday kesishmasidan hosil bo'lgan ko'pburchakli kottus
yarim bo'shliqlar va amalga oshiriladigan parametr qiymatlari to'plamidir

10-bet

YOROGET FUNKSIYALARI VA BUL FUNKSIYALARNING BOSHQALARI J3.
funktsiyasi /. Agar konus bo'sh bo'lmasa, ya'ni berilgan bilan chegara funktsiyasi
{-1, 1} n cho'qqilarida qiymatlar mavjud bo'lsa, bu holda u
uning ichki qismi ham bor, ya'ni u tanadir. Shunday qilib,
ochiq konuslar o'rtasida birma-bir yozishmalar mavjud,
(n + 1) o'lchovli fazo (ao, a \, ..., an) bo'linadi
2P koordinatalarining kelib chiqishi orqali shaklning gipertekisliklari orqali o'tish
ao ± a \ = b ... = b an = 0 (8)
va chegara funktsiyalari.
n-o'lchovli Evklid bo'lgan konuslar sonini hisoblash masalasi
En fazosi K ga bo'lingan giperplanlar orqali o'tadi
kelib chiqishi, dastlab ikki va uch o'lchovli uchun ko'rib chiqilgan
1826 yilda Shtayner [108] va 1850 ga yaqin Shlafli tomonidan umumlashtirilgan holatlar.
[105, b. 209-212] d o'lchamli holat uchun. Keyinchalik, bo'ylab
kosmosning bo'linishi bilan bog'liq yuz yildan ortiq muammolar
giperplanlar, ko'plab mualliflar tomonidan ishlab chiqilgan, garchi ularning hammasi emas
aftidan, o'z salaflarining ishlaridan xabardor edilar. Shunday qilib
batafsil ko'rib chiqish paydo bo'lgan 1971 yilgacha davom etdi
Grünbaum [63] keng bibliografiyani o'z ichiga oladi.
Bu erda olingan turli xil natijalarga to'xtalamiz
chegarani sanab o'tish muammosiga faqat ikkitasi tegishli
funktsiyalari. Giper tekisliklarning n o'lchovli joylashishini eslaymiz
Evklid, En fazosi umumiy (markazlanmagan) deb ataladi.
har qanday i giper tekisliklarning kesishishi n - i o'lchamga ega bo'lsa, for
i> n u bo'sh. Giper tekisliklarning joylashishi deyiladi
markazlashtirilgan umumiy, agar ularning barchasi bir nuqtadan o'tsa (kelib chiqishi)
va har qanday i, i <72, normallar chiziqli mustaqildir.
1-teorema [Schlafli]. Maksimal n o'lchovli ochiq soni
n-o'lchovli bo'linishdan kelib chiqadigan ko'p yuzli konuslar
Evklid fazosi K koordinatalarning kelib chiqishidan o'tuvchi giperplanlar orqali
dinat ularning 2 ga teng . va bu maksimalga faqat o'sha va faqat erishiladi
agar giperplanlar markazlashtirilgan umumiylikda bo'lsa
pozitsiya.
2-teorema [45]. Maksimal n o'lchovli ochiq soni
n o'lchovli Evklidning bo'linishidan kelib chiqadigan ko'p yuzli domenlar
ixtiyoriy K gipertekisliklar bo'yicha fazo 2 • b ga teng va bu
i = 0 \ 1 '
maksimalga faqat va agar giperplanlar bo'lsa erishiladi
umumiy holatda.
Keling, bu teoremalarning ikkinchisini isbotlaylik; birinchisi ham xuddi shunday tarzda isbotlangan.
Dalil ular ishlatgan [45] da berilganidan farq qiladi
Eyler xarakteristikasi va induktivdan foydalanishga misoldir
geometriyadagi usul bo'lib, uning gnoseologik ahamiyati ta'kidlangan
Polya [96], u va tomonidan ishlatilgan. Shlaflining o'zi.
Isbot. K = 1 uchun 2-teoremaning bayoni
har qanday n uchun bajariladi.K = w bo'lgan barcha n uchun bajarilsin. Keling, isbot qilaylik
uning K = m + i uchun. Faraz qilaylik, n + 1 giper tekisliklari L va ... Enda berilgan.
..., Lm, Lm + b L \, ..., Lm + \ giper tekisliklari joylashgan domenlar soni
split En, induksiya gipotezasi tomonidan 2 dan oshmaydi (? • For
i — 0 '1'
Lm + 1 ni amalga oshirgan holda, hududlar soni ko'payadi
ba'zi hududlar ikkiga bo'lingan. Har birining natijasi sifatida
gipertekislikdagi bunday kesimning Lm + i kesiladi (n - 1) ~ o'lchovli
dona va Endagi hududlar sonining ortishi Lm + b dagi bunday qismlar soniga teng
Bu qismlar {n - 1) - giper tekislikning o'lchovli domenlari Lm + 1,

11-bet

30. A. ZUEV
u
unda yotgan Lm + 1 ning parchalanishi natijasida (n - 2)
Lm + \ ning b \ bilan kesishishi natijasida hosil bo'lgan o'lchovli giperplanlar, ...
..., Lm. Ko'pi bilan m1 shunday (n - 2) - o'lchovli gipertekisliklar va
induksion gipoteza, giperplanening bo'laklari soni Lm + \ mme dan oshadi
(.). Shuning uchun, Endagi mintaqalarning umumiy soni oshmaydi
n I \ n-1
2 7 + 2
v 1; i = o
t + \
Bunda b1, ..bm + 1 giper tekisliklarining joylashishi keng tarqalgan
va faqat L \, ..., Lm giper tekisliklari umumiy bo'lsa
pozitsiyasi va (n - 2) - o'lchovli gipertekisliklar - kesishmalar mavjud
Lm + \ da umumiy holat. Bu tenglik shartini belgilaydi.
Teorema isbotlangan.
Fazoni giperplanlar orqali bo'lish muammosi bilan chambarchas bog'liq
chekli nuqtalar to'plamining chiziqli bo'limlari soni masalasi.
Agar yo'q bo'lsa, nuqtalar Enda umumiy holatda ekanligini eslaymiz
i + 2 tasi uchun ^ -o'lchovli afin kichik fazoda yotmaydi
l ^ i ^ n - 1. Quyidagi natija Nilsson [87] tomonidan chiroyli tarzda bayon etilgan.
Cover [51] ga murojaat qilib, uning isboti ham
[66] da keltirilgan.
Teorema 3. Chiziqli bo'linadigan kichik to'plamlarning maksimal soni
Endagi K nuqtalarning chekli to'plami uchun 2 2 ga teng va bu maksimal
maksimal ball, agar va faqat ball bo'lsa erishiladi
umumiy holatda.
1 yoki 3 teoremadan foydalanib, K = 2 ",
chegara funksiyalar soni uchun yuqori chegarani (6) olamiz. Eslatma
Bundan tashqari, chegara mantig'iga qo'shimcha ravishda, 1-teorema qiziqarli topildi
geometrik ehtimollarda qo'llanilishi [52, 110].
Bo'linish mintaqalari soni uchun ahamiyatsiz pastki chegara
faqat n va K ga bog'liq holda gipertekisliklar orqali bo'shliqni bering
mumkin emas, chunki bu raqam tizimning tug'ma darajasiga bog'liq
giperplanlar. Giperplanlar oilasi (8) degeneratsiyaga uchragan va bu shunday edi
raqamni baholash muammosida uzoq vaqt oldinga siljish yo'qligi sababli
chegara funktsiyalari. Biroq, raqam uchun foydali pastki chegara
maydonlarni darajaga bog'liq holda ham olish mumkin
qiymati bo'yicha degeneratsiya - turli afinlarning umumiy soni
giper tekisliklarning kesishishi natijasida hosil bo'lgan pastki bo'shliqlar.
Giper tekisliklarning En dagi joylashuvi agar kvazi-umumiy deyiladi
har qanday i gipertekisliklarning kesishishi n - i o'lchamga ega yoki bo'sh
(ya'ni, parallelizmga ruxsat beriladi, lekin har bir kichik bo'shliq orqali
n - i o'lchamning kesishishi aynan i giper tekisliklardan o'tadi).
4-teorema [16]. n o'lchamli ochiq ko'p yuzlilar soni
En fazosi ixtiyoriy chekli bilan bo'lingan mintaqalar
giperplanlar tizimi, har doim hech bo'lmaganda barcha mumkin bo'lganlarning umumiy soni
affin kesishuv pastki bo'shliqlari, barchaning pastki bo'shliqlarini hisoblash
0 (nuqta) dan n - 1 (giper tekisliklarning o'zi) va n (barchasi
bo'sh joy En). Bundan tashqari, tenglik o'sha va faqat unda sodir bo'ladi
giperplanlarning joylashuvi kvazi-umumiy bo'lgan holat.
Anjir. 5 hammasini ko'rsatadi
tekislikda uchta to'g'ri chiziqning izomorf bo'lmagan joylashuvi. a), b), c) hollarda
tartibga solish kvazi-umumiy bo'lib, teoremada tenglik amal qiladi. Shunday qilib, ichida
a) 7 ta domen va affin pastki bo'shliqlarning umumiy soni
ham 7 ga teng (3 nuqta, 3 chiziq va tekislik). d) holatida

12-bet

MATQIY FUNKSIYALARNING EOS FUNKSIYALARI VA BOSHQA FUNKSIYALARI.
pozitsiyasi umumiy emas, 6 ta domen va faqat 5 ta kichik bo'shliq mavjud
(nuqta, 3 ta chiziq va tekislik).
4-teorema 2-teoremaga o'xshash induksiya orqali isbotlanishi mumkin
giperplanlar soni. Bm + \ ni bajarayotganda, hududlar sonining ko'payishi
Enda Lm + b dagi (n - 1) -o'lchovli bo'laklar soniga teng
induksion gipoteza afinlar sonidan oshmaydi
kesishgan pastki bo'shliqlar. Shu sababli, bo'linish mintaqalari sonining ko'payishi
Lm + 1 bajarilganda Ep har doim sonning o'sishidan kam emas
kesishgan pastki bo'shliqlar. Giperplanlarning kvazi-umumiy joylashuvi bilan
kesishgan pastki bo'shliqlar sonining ko'payishi pastki bo'shliqlar soniga teng;
Lm + b da yotadi, bu erdan tenglik sharti keladi.
Guruch. 5
3-§, 1-bandda, 4-teorema va tasodifiy (± 1) -matritsalarning xossalari yordamida
asimptotiklar (7) isbotlanadi.
Bo'linish hududlari soni uchun yuqori va pastki chegaralarga qo'shimcha ravishda
printsipial jihatdan buni aniq hisoblash imkonini beruvchi formulalar mavjud
raqam. Birinchi bunday natija Uinder teoremasi edi [118].
Ixtiyoriy markazlashtirilgan tartib K bo'lsin
giperplanlar. 0 ularning kesishish o'lchami bilan bir xil paritetga ega bo'lsa ham
n - £, aks holda g'alati.
5-teorema [118]. n o'lchamli ochiq ko'p yuzlilar soni
konuslar bo'lib, ular orqali chekli giperplanlar to'plami o'tadi
kelib chiqishi, En bo'linadi, juft va soni o'rtasidagi farqga teng
giper tekisliklar to'plamining toq kichik to'plamlari.
5-teoremani induktiv yordamida osongina isbotlash mumkin
usuli, lekin uni qo'llash targ'ib qilish uchun juda murakkab bo'lib chiqdi
chegara funktsiyalari soni haqidagi savol. Formula yanada qulayroq bo'lib chiqdi
Zaslavskiy [125]. O'zboshimchalik bilan tartibga solinsin
Bpdagi giperplanlar. Affin kesishma pastki bo'shliqlar to'plami
inklyuziyaga teskari tartibda qayta tartiblang, ya'ni butun bo'shliq nolga teng bo'ladi
qisman tartiblangan to'plam, giperplanlar esa uning atomlaridir. Har qanday
qisman tartiblangan shunday olingan interval
to'plam geometrik panjara (qarang [43]). Keyin orqaga burish orqali
Turli xil geometrik elementlarning soni uchun Eyler nisbati
giper tekisliklarning kesishmasidan kelib chiqadigan o'lchamlar, biz mumkin
quyidagi natijani oling.
6-teorema [125]. n o'lchamli ochiq ko'p yuzlilar soni
giper tekisliklarning ixtiyoriy chekli tizimi joylashgan domenlar
bo'linadi En 21 ^ (0, $) | ga teng, bu erda p (0, s) Mobius funksiyasi qisman.
S
kesishgan pastki bo'shliqlarning tartiblangan to'plami va yig'indisi
uning barcha elementlarida bajariladi s.
Mobius funktsiyasining qiymatlarini hisoblash uchun aniq
ichida bo'lgan kesishgan pastki fazolarning butun panjarasini bilish
AQSh ishi deyarli mumkin emas. Biroq, geometrik panjara va
uning Möbius funktsiyasi aksiomatik ravishda berilgan algebraik
ob'ektlar Rothning fundamental asarida ko'rib chiqilgan [104], in
Bu, xususan, p (0, 5)> 0 ekanligi ko'rsatilgan. Bu darhol imkon beradi

13-bet

o'n
Yu.A.ZUKV
bo'linmalar soni umumiy sonidan kam emas degan xulosaga kelish
kesishish pastki bo'shliqlari, ya'ni zaiflashtirilgan versiyani olish
Teorema 5. Bu birinchi bo'lib [15] da qo'llanilgan
asimptotiklar (7).
2. Nuqtalarning chiziqli ajralish shartlari. Mantiqiy funktsiya hisoblanadi
uning nollari to'plamini birlar to'plamidan ajratish mumkin bo'lsa, chegara
giperplan. Lineer bo'yicha eng qadimgi natijalardan biri
Endagi nuqtalarning ajralishi Kirxberger teoremasi [72]. Tasdiqlangan
1903 yil, jurnal matnining 24 sahifasida, uzoq vaqt davomida ko'rib chiqildi
eng qiyinlaridan biri, 1950 yilgacha Rademaxer va Schoenberg [99]
uning Helli teoremasidan kelib chiqishi qayd etilgan (qarang [54]). Garchi
Kirchberger teoremasi va chegara mantig'ida to'g'ridan-to'g'ri qo'llanmalar topilmadi,
bu go'zal natijani aytib o'tishga arziydi.
7-teorema [72]. Enda T1 va T2 nuqtalarining ikkita chekli to'plami
Agar va faqat hamma uchun bo'lsa, giperplan bilan qat'iy ravishda ajratilishi mumkin
75 O G2, \ T \ = u + 2, T P Ti va T L T2 to'plamlari qat'iy ravishda ajratiladi.
Isbot [99]. (g + 1) - o'lchovli fazoda (a \, ...
..., an, b) har bir nuqta uchun t = (t 1, ..., tn) dan T \ U 7 ^ hisobga olinadi.
ochiq yarim bo'shliq a {t \ + ... + antn - b <0 uchun t ^ T 1 va a \ t \ + ...
... + antn - t ^ T2 uchun b> 0. Teorema gipotezasiga ko'ra, har birining kesishishi
Ushbu yarim bo'shliqlarning n + 2 tasi bo'sh emas. Shuning uchun teorema bo'yicha
Helly, En + 1 = (a \, ..., an, b) da hammaga tegishli nuqta bor.
yarim bo'shliqlar, bu hiperplanni qat'iy ravishda ajratib turadi
T \ T2 dan. Bu dalilni to'ldiradi.
The
konveks tahlilining asosiy teoremasidan kelib chiqadigan natijalar,
unga ko'ra, ikkita chekli to'plamning chiziqli bo'linishi uchun
Enda ularning qavariq korpuslari hq zarur va yetarli
kesishgan. Bu ma'lum fakt qator ostona mantiqiga ega
muhim oqibatlar. Keyingi natija hammaga ma'lum.
Bayonot 1. Elementar bog`lovchi - ostonalar
funktsiyasi.
Dalil subkubning mos kelishidan kelib chiqadi
elementar birikma, qismning qiymatlarini belgilash orqali o'rnatiladi
o'zgaruvchilar va pastki kubning uchlari har qanday konveks chiziqli birikmasi uchun va
faqat ular uchun bu o'zgaruvchilar bir xil qiymatlar to'plamini oladi.
O'zboshimchalik bilan pastki kubni kesib tashlaydigan tengsizlik osongina aniq yozilishi mumkin
shakl (qarang [10, 42]).
{0, 1} n kubining uchlari butun son koordinatalariga ega boʻlgani uchun,
Bundan kelib chiqadiki, ixtiyoriy mantiqiy funktsiya uchun / qavariq korpuslar
to'plamlari / DO) va / "1 (1) kesishadi, agar va faqat
ularning ratsional bilan tasodifiy konveks birikmalari mavjud
koeffitsientlar. Bu qavariqning kesishish shartini ifodalash imkonini beradi
chekli summalar tilida qobiqlar. Keyingi ta'rif
chegara mantiqida umumiy qabul qilingan.
/ funksiyasi k-summable deyiladi, agar ba'zilari uchun /,
2 / "DO) va / shuningdek, har xil x \,..., X) to'plamlari / ~ A1) dan farq qilishi shart emas.
shundayki, x ° z + ... + x® = x} Jr. .. + xj, yig'indisi ostida qaerda
vektorlarning odatiy koordinatali qo'shilishi tushuniladi. Aks holda /
k - yig'ilmaydigan deb ataladi. Agar / / c-hamma uchun yig'ilmaydigan
natural &, keyin u yig'ilmaydigan deyiladi.
Oldingi mulohazadan quyidagi taniqli xulosalar kelib chiqadi.
chegara mantig'ida birinchi marta Elgot tomonidan tuzilgan natija [57].
8-teorema [57]. Funktsiya chegara bo'lishi uchun,
o‘rnida bo‘lishi uchun zarur va yetarlidir.

14-bet

MATQIY FUNKSIYALARNING EOS FUNKSIYALARI VA BOSHQA FUNKSIYALARI.
Umuman olganda, yig'ilmasligi shartini tekshirish qiyin
mim, bu polni tanib olish muammosining murakkabligiga mos keladi
(qarang va. 8). Biroq, ba'zi bir maxsus holatlarda, teorema 8 bo'lishi mumkin
belgilangan. Demak, funktsiya monotonik bo'lsa, u holda
birlik yig'indilik holatida to'plamlar, biz uning pastki olishimiz mumkin
birlar yoki bosh nollarni nol sifatida ishlating. Agar,
bundan tashqari, barcha pastki yoki barcha yuqori nollar 2-qatlamda yotadi, keyin
8-teoremani yanada takomillashtirish mumkin.Keyingi bayonot
chegarani o'rganishda birinchi bo'lib olingan natijani umumlashtiradi
grafiklar (5-bandga qarang).
Bayonot 2. Agar monoton funksiyaning hammasi pastroq bo'lsa
birliklar 2-qatlamda (grafik funksiya) yoki 2-qatlamda uning hammasi yotadi
yuqori nollar, so'ngra uning yig'ilmasligi va shuning uchun chegara
2-qatlamda yig'ilmasligiga teng.
Isbot. Bu yig'indililigini ko'rsatish uchun etarli
2-qavatda yig'indililik quyidagicha bo'ladi. Birinchidan, barcha yuqori nollarni qo'ying
funksiyalar 2-qavatda va funksiya yig'indisidir. Agar nol orasida bo'lsa
to'plamlarning x?, ..., x® yig'indisi shartida bo'lmagan to'plamlar mavjud
yuqori nollarni qo'yamiz, keyin ularni katta to'plamlari bilan almashtiramiz, ya'ni
yuqori nollar, bir vaqtning o'zida birlikning bir qismini oshiradi
x \, to'plamlari. .., x * tenglik saqlanib qolishi uchun. Shundan keyin hammasi
yig'indilik holatidagi birlik to'plamlari ham 2-qatlamda yotadi,
va funksiya 2-qatlamda yig'iladigan bo'lib chiqadi. Haqiqatan ham, agar
Faraz qilaylik, barcha birlik to'plamlari 2-qatlamda, keyin esa ular orasida yotmaydi
1-qatlamda joylashgan va ba'zi o'qlardan kamroq bo'lgan to'plam mavjud
monotonlik tufayli mumkin emas.
Keling, gipoteza bo'yicha, pastki birliklar 2 va qatlamda yotadi
funktsiya yig'indisidir. Keyin yig'indililik holatida hammasini taxmin qilishimiz mumkin
birlik to'plamlari pastki birliklardir. Agar bir vaqtning o'zida
yig'indilik holatida ba'zi nol to'plami 1-qatlamda yotadi, keyin
2-qatlamda uning kattaroq birlik to'plami mavjud. Ikkala to'plamni ham olib tashlang
yig'indisi shartlari, birini kamaytirish orqali tenglikni saqlash
qolgan nol to'plamlar. Barcha nolni bunday olib tashlashdan keyin
1-qavat to'plamidan qolgan nol to'plamlar 2-qatlamda yotishi kerak, ya'ni
funktsiya 2-qatlamda yig'iladi.
Shunday qilib, 2-bayonotda ko'rib chiqilgan sinfda
nol cho'qqilarni birlikdan giper tekislik bilan ajratish funktsiyalari
ularning 2-qatlamda ajralishi kifoya. 5-bo'limda bu ko'rsatiladi
2-qatlamdagi yig'indililik 2-jamlanishga teng. Shunday qilib, uchun
shartda 8-teoremadan foydalanib, bunday funksiyalarning chegarasini o'rganish
yig'indisi, faqat o'ziga xoslik va juftlik juftlarini ko'rib chiqish kifoya
qatlamda yotgan nol kortejlar soni 2. Umumiy holda, har qanday uchun
Uinder [116] ko'rsatganidek, mavjud bo'lishi belgilangan
chegara bo'lmagan yig'iladigan funktsiyalar. Shuni ham yodda tuting
Agar unda 2-qatlam bo'lsa, 2-bayon haqiqiy bo'lmaydi
3-qatlam bilan almashtiring [102].
bilan bog'liq pol mantiq yana bir muhim tushunchasi
chiziqli ajralish teoremasi Chow parametrlaridir. T - qilsin
Enda nuqtalarning chekli to'plami. Har bir kichik to'plam uchun T \ biz uning Chow vektorini (parametrlarini) (q + 1) - o'lchovli vektor S (Ti) = sifatida aniqlaymiz.
= (so, s \, ..., sn), bunda so = I Til, i> 1 uchun a st ix yig‘indisiga ega.
T \ to'plam nuqtalarining koordinatalari, ya'ni vektor ($ i, ..., sn) yig'indisidir.
/ ^ - T \ to'plamining o'lchovli vektor nuqtalari. Quyidagi natija uchun mavjud
chegaraviy mantiq katta ahamiyatga ega.
Teorema 9. T \ qat'iy ravishda T to'plamning kichik to'plami bo'lsin
T \ T \ dan giper tekislik bilan ajratilgan, S (T \) = (sq, si, ..., sn) uning Chow vektori,

15-bet

o'n sakkiz
fc>. A. ZUEV
Keyin, T \ bilan mos kelmaydigan har qanday T2 e T kichik to'plami uchun,
* S (T,).
Biz isbotni qarama-qarshilik bilan bajaramiz. Bo'lsin
T2FTX 5 (7 * 2) = 5 (7 * 1) ga teng. Keyin
2 t = 2 t, 2 t -i- 2 t = 2 t + 2 t,
tert te r „teTjfiTjj teT ^ T ^ teT, nT2 ter2 \ Tj.
2 t = 2 t.
ShTg \ T2 tsr2 \ Tj
17 * dan boshlab, I = 17 * 21, dan | 7 * i \ 7 * 2 | = IWiI va
1
yi \ ^ l
2 *
teTjVrg
v ^ ll
ter2 \ Ti
Bu mumkin emas, chunki G L Gg va GgXG} to'plamlar boshqacha yotadi
giperplanetning yon tomonlari va ularning qavariq korpuslari kesishishi mumkin emas.
Teorema isbotlangan.
Endi En to'plamdagi D ni chekli to'plam sifatida qabul qilamiz
i oʻlchamli birlik kubining uchlari {0, 1} n va har bir mantiqiy funksiya
/: {0,1} n-> {0,1} uning birlik uchlari kichik to‘plamini / -1 (1) bilan bog‘laymiz.
Keyin Mantiqiy funksiya uchun / uning Chow vektori sifatida belgilash mumkin
S (f) = 8 (f ~ l (1)). Endi, 9-teoremaga ko'ra, agar f \ chegara bo'lsa
funktsiya va S (f 1) uning Chow vektoridir, keyin har qanday funktsiya uchun / 2 undan farq qiladi,
pol yoki pol bo'lmagan, S (f2) ^ S (f1). Bu shaklda
9-teorema birinchi marta Chou tomonidan o'rnatildi [47]. Bu erda ko'proq berilgan
chegarani o'rganishda umumiy ibora qo'llaniladi