Ranch texnologiya universiteti “Iqtisodiyоt va ishlab chiqarishni tashkil qilish” kafedrasi “Oliy matematika” fanidan yakuniy nazorat savollari

RANCH texnologiya universiteti “Iqtisodiyоt va ishlab chiqarishni tashkil qilish” kafedrasi “Oliy matematika” fanidan yakuniy nazorat savollari
32-bilet

1. 
   2-va 3-tartibli determinantlar va ularning xisoblash usullarii.
   

1. Фараз этайлик бизга

a₁₁x₁ кa₁₂ x₂ к b₁ (1) a₂₁ a₂₂
a₂₁x₁ кa₂₂ x₂ к b₂ -a₁₁ - a₁₂
чизикли тенгламалар системаси берилган булсин. (1) ни x₁ ва x₂ га нисбатан ечсак
b₁ a₂₂ - b₂ a₁₂ b₂ a₁₁ - b₁ a₂₁
x₁к  , x₂к  (2)
a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁ a₁₁ a₂₂- a₁₂ a₂₁
лар хосил киламиз. Бу ерда махраж
dк a₁₁ a₂₂ -a₁₂a₂₁ к (3)
куринишда белгиланиб (3)га иккинчи тартибли детерминант дейилади. Демак, иккинчи тартибли детерминантни хисоблаш учун унинг бош диагоналидаги элементлари купайтмасидан иккинчи диагоналидаги элементлари купайтмасини айириш керак экан. (2) нинг суратидаги ифодаларни хам иккинчи тартибли детерминант куринишда ёзиш мумкин:
d₁к b₁ a₂₂ - b₂ a₁₂к , d₂к b₂ a₁₁ - b₁ a₂₁ к
Булардан фойдаланиб (2) ни
x₁к d₁ / d , x₂к d₂ / d (4)
куринишда ёзиш мумкин. (4) га (1) системани ечиш учун Крамер формуласи дейилади.
Мисол.
системани Крамер формулалари ёрдамида ечинг.
Бу ерда .
Демак, (4) га кура x₁к -5 /( -5) к 1 ва x₂к -5 / (-5) к1.
Жавоби: x₁ к 1 ва x₂к 1.
2.Энди фараз килайлик 3 та номаълумли

чизикли тенгламалар системаси берилган булсин. (5)ни x₁ ,x₂ , x₃ ларга нисбатан ечамиз. Бунинг учун унинг биринчи тенгламасини a₂₂ a₃₃ - a₂₃ a₃₁ га иккинчисини a₁₃ a₃₂ - a₁₂ a₃₃ га ва учинчисини a₁₂ a₂₃ - a₁₃ a₂₂ га купайтириб кsшамиз. У холда
b₁ a₂₂ a₃₃ к b₂ a₁₃ a₃₂ к b₃ a₁₂ a₂₃ - b₃ a₁₃ a₂₂ - b₂ a₁₂ a₃₃ - b₁ a₂₃ a₃₂
x₁к  . (6)
a₁₁ a₂₂ a₃₃ к a₂₁ a₁₃ a₃₂к a₃₁ a₁₂ a₂₃ - a₃₁ a₁₃ a₂₂ - a₂₁ a₁₂ a₃₃ - a₁₁ a₂₃ a₃₂
Бунинг махражини
dк a₁₁ a₂₂ a₃₃ к a₂₁ a₁₃ a₃₂к a₃₁ a₁₂ a₂₃ - a₃₁ a₁₃ a₂₂ - a₂₁ a₁₂ a₃₃ - a₁₁ a₂₃ a₃₂ к
к
деб белгилаб олсак , (7) га 3- тартибли детерминант дeйилали. (7) нинг чап томонидан уни хисоблаш коидаси келиб чикади:

Осонлик билан куриш мумкинки, агар (7) да 1-устун элементлари a₁₁ , a₂₁ ,a₃₁ ни мос равишда b₁ ,b₂ ,b₃ лар (озод хадлар устуни) билан алмаштирсак (6) нинг сурати хосил булади, яъни (7) дан
b₁ a₁₂ a₁₃

2. 
   Uch noma`lunli chiziqli tenglamalar sistemasi haqidagi asosiy tushunchalar va uning yechish usuli.
   

1. Chiziqli tenglamalar sistemasini teskari matritsa usulida yechish
n ta noma`lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi

berilgan bo`lsin. Matritsalarni ko`paytirish amali va matritsalar tengligi ta`rifidan foydalanib, sistemani
AX = B
matritsali tenglama ko`rinishida yozish mumkin. Bu yerda, A = (a_iκ) - asosiy matritsa, B – ozod hadlar ustun matritsasi va X - noma`lumlar ustun matritsasi.
Sistemaning asosiy matritsasi A maxsusmas bo`lib, A^-1 uning tes-kari matritsasi bo`lsin. AX = B tenglama ikkala qismini chapdan tes-kari A<sup>-1</sup> matritsaga ko`paytiramiz va
A^-1A = E, EX =X
tengliklarni e`tiborga olsak,
X = A<sup>-1</sup>B (1)
tenglamani olamiz. (1) tenglama tenglamalar sistemasi yechimini matritsa shaklda yozish yoki sistemani teskari matritsa usulida ye-chish formulasi deyiladi. Shunday qilib, sistemani teskari matritsa usulida yechish uchun A kvadrat matritsa teskarisi A<sup>-1</sup> quriladi va u chapdan ozod hadlar matritsasi B ga ko`paytiriladi.


2. Sistemaning umumiy yechimi. Gauss usuli. Gauss usulining Gauss-Jordan modifikatsiyasi

m ta noma`lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo`lsin.

Agar sistema tenglamalarining birida x_k (k = {1, 2, …, m}) noma`lum +1 koeffitsient bilan qatnashib, qolgan barcha tenglamalarida x<sub>k</sub> noma`lumli hadlar mavjud bo`lmasa yoki yo`qotilgan bo`lsa, siste-ma x<sub>k</sub> noma`lumga nisbatan ajratilgan yoki x_k noma`lum sistemaning ajratilgan noma`lumi deyiladi. Ajratilgan noma`lum bazis noma`lum deb ham yuritiladi.
Sistemaning har bir tenglamasi ajratilgan yoki bazis noma`lumga ega ko`rinishiga noma`lumlari ajratilgan yoki bazisga keltirilgan sistema deyiladi. Har qanday birgalikdagi sistema o`zining ajratilgan yoki bazis noma`lumlari tizimi mavjudligi bilan xarakterlanadi. Noma`lum-lari ajratilgan yoki bazisga keltirilgan sistemaning ajratilgan yoki bazis noma`lumlari tizimiga tegishli bo`lmagan noma`lumlari ajratilmagan, ozod yoki erkli noma`lumlar deb ataladi. Masalan, quyidagi

noma`lumlari ajratilgan yoki bazisga keltirilgan sistemada x<sub>1</sub>, x<sub>3</sub> va x<sub>4</sub> ajratilgan yoki bazis noma`lumlar bo`lsa, x<sub>2</sub> va x<sub>5</sub> noma`lumlar esa ozod yoki erkli noma`lumlardir.

Agar noma`lumlari ajratilgan yoki bazisga keltirilgan sistemaning har bir noma`lumi uning ajratilgan yoki bazis noma`lumlari tizimiga tegishli bo`lsa, sistema aniq, ya`ni yagona yechimga ega bo`ladi. Agarda noma`lumlari ajratilgan sistema erkli noma`lumlarga ham ega bo`lsa, aniqmas, ya`ni cheksiz ko`p yechimlarga ega bo`ladi.
Berilgan dastlabki shakldagi sistemaning umumiy yechimi deb, unga teng kuchli bo`lgan noma`lumlari ajratilgan yoki biror-bir bazisga keltirilgan sistemaga aytiladi.
Sistemaning umumiy yechimini qurish usuliga esa Gauss usuli deyiladi. Sistemaning barcha yechimlarini topish uchun uning umumiy yechimini qurish yetarli. Berilgan sistemaning umumiy yechimini aniq-lash uchun uning ustida quyidagi elementar almashtirishlar bajariladi:
1) sistema tenglamalari o`rinlarini almashtirish mumkin;

3. 
   Berilgan to`g`ri chiziqning grafigini chizing.