Рационал ҳамда тригонометрик функцияларни интеграллаш 10. Алгебранинг баъзи маълумотлари ва тасдиқлари

2⁰. Рационал функцияларни интеграллаш. Фараз қилай-лик, рационал функция бўлиб, унинг интегралини ҳисоб-лаш талаб этилсин.
Айтайлик, бутун рационал функция

бўлсин. Унда

бўлади.
Айтайлик, каср рационал функция

бўлсин. Агар бўлса, унда кўпҳадни кўпҳадга бўлиш билан нинг бутун қисмини ажратиб, бутун рационал функция ҳамда тўғри каср йиғиндиси кўринишида ифодалаб олинади:
.
Равшанки,
.
Демак,

рационал функцияни интеграллаш тўғри касрни интеграл-лашга келади. Тўғри касрларни интеграллаш учун аввало уни 1⁰. да келтирилган усул билан содда касрларга ёйилади. Содда касрларни интеграллаш эса 29-маърузада батафсил баён этилган.
3⁰.Икки ўзгарувчининг рационал функцияси ҳақида. Икки ва ўзгарувчилар берилган бўлиб, бу ўзгарувчилар ёрдамида ушбу

кўпайтмани тузамиз. Қуйидаги

функция ва ўзгарувчиларнинг кўпҳади дейилади, бунда ҳақиқий сонлар.
Айтайлик, ҳамда лар ва ўзгарувчи-ларнинг кўпҳадлари бўлсин. Ушбу

нисбат ва ўзгарувчиларнинг рационал функцияси дейи-лади ва каби белгиланади:

Фараз қилайлик, ва ўзгарувчиларнинг ҳар бири ўз навбатида ўзгарувчининг

функциялари бўлсин. У ҳолда функция ва функцияларнинг рационал функцияси бўлади.
Масалан,

функция

ларнинг рационал функцияси бўлади, чунки

Хусусан, ва ларнинг ҳар бири ўзгарувчининг рационал функциялари бўлса, у ҳолда

функция шу ўзгарувчини рационал функцияси бўлади.
Энди рационал функциянинг содда хоссаларини келтирамиз:
1) Агар

бўлса, у ҳолда бу рационал функция ушбу

кўринишга келади, бунда ҳам рационал функция.
2) Агар

бўлса, у ҳолда бу рационал функция ушбу

кўринишга келади, бунда рационал функция.
3) Агар

бўлса, у ҳолда бу рационал функция ушбу

кўринишга келади, бунда рационал функция.