Рационал ҳамда тригонометрик функцияларни интеграллаш 10. Алгебранинг баъзи маълумотлари ва тасдиқлари

Рационал ҳамда тригонометрик функцияларни интеграллаш


1⁰. Алгебранинг баъзи маълумотлари ва тасдиқлари.
Биз қуйида алгебра курсида ўрганиладиган баъзи тушунча-ларни ҳамда тасдиқларни (исботсиз) келтирамиз. Улардан рационал функцияларни интеграллашда фойдаланилади.
Айтайлик,
(1)
кўпҳад берилган бўлсин, бунда эса кўпҳаднинг даражаси.
Агар учун бўлса, сон кўпҳаднинг илдизи дейилади. Бу ҳолда кўпҳад га бўлиниб, у қуйидагича

кўринишда ифодаланади, бунда даражали кўпҳад.
Агар кўпҳад га бўлинса, сон нинг каррали илдизи бўлади. Бу ҳолда ушбу

кўринишда ифодаланади,бунда даражали кўпҳад.
Агар комплекс сон кўпҳаднинг илдизи бўлса, ҳам нинг илдизи бўлади. Шунингдек, сон нинг каррали илдизи бўлса, сон ҳам шу кўпҳаднинг каррали илдизи бўлади. У ҳолда кўпҳаднинг ифодасида қуйидаги

квадрат учҳад кўпайтувчи бўлиб қатнашади.
Фараз қилайлик,
(2)
кўпҳад берилган бўлиб, ҳақиқий сонлар нинг мос равишда каррали илдизлари, комплекс сонлар эса нинг мос равишда каррали илдизлари бўлсин.
1-теорема. Ҳар қандай даражали

кўпҳад ушбу
(3)
кўринишда ифодаланади, бунда

бўлиб, квадрат учҳад ҳақиқий илдизга эга эмас.
Маълумки,


кўпҳадлар нисбати

каср рационал функция дейилиб, бўлганда у тўғри каср дейилар эди.
2-теорема. Агар тўғри каср махражидаги кўпҳад ушбу

кўринишда бўлиб, кўпҳад га бўлинмаса, у ҳолда

бўлади, бунда - кўпҳад.
3-теорема. Агар тўғри каср махражидаги кўпҳад ушбу

кўринишда бўлиб, ( квадрат учҳад ҳақиқий илдизга эга эмас),
кўпҳад га бўлинмаса, у ҳолда

бўлади, бунда -кўпҳад.
Юқорида келтирилган 2- 3- теоремалар ихтиёрий тўғри каср ҳар бири ҳади ушбу


кўринишдаги касрлардан, яъни содда касрлардан иборат бўлган йиғинди орқали ифодаланишини кўрсатади. Бундай ҳолда тўғри каср содда касрларга ёйилади дейилади.
Айтайлик,

тўғри каср берилган бўлсин. Амалиётда бу каср содда каср-ларга қуйидагича ёйилади:
1) Касрнинг махражи кўпҳад (3) кўринишда ёзила-ди,
2) 2- 3- теоремалардан фойдаланиб,

ни содда касрларга ёйилади,
3) Бу ёйилманинг ўнг томонидаги содда касрлар йиғин-диси умумий махражга келтирилади,
4) Натижада ҳосил бўлган

яъни,

тенгликнинг ҳар икки томонидаги нинг бир хил даража-лари олдидаги коэффицентларни тенглаштириб, номаълум коэффицентларни топиш учун тенгламалар системаси ҳосил қилинади.