R. M. Turgunbaev

Differensiallanuvchi bo‘lishining zaruriy va yyetarli sharti

Teorema. f(x) funksiya x=x₀ nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi uchun uning shu nuqtada chekli f’(x₀) hosilasi mavjud bo‘lishi zarur va yyetarlidir.

Isboti. Zaruriyligi. Funksiya x=x₀ nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsin. U holda funksiyaning orttirmasiini (1.1) ko‘rinishda yozish mumkin. Undan x0 da

^у  A  ( x )
x
ni yozish mumkin. Bundan x0 da
lim ^y  A , demak x
x0 _x

nuqtada hosila mavjud va f’(x)=A ekanligi kelib chiqadi.
Yyetarliligi. Chekli f’(x₀) hosila mavjud bo‘lsin, ya’ni


lim
y _


f ' ( x


). U

x0 _x ⁰

holda
y _
x
f ' ( x₀
)  ( x ), bu erda (x) x0 da cheksiz kichik funksiya.

Demak,
y=f’(x₀)x+(x)x (1.2)

yoki y=Ax+(x)x, bu erda A=f’(x₀). Shunday qilib x=x₀ nuqtada f(x)
funksiya differensiallanuvchi va A=f’(x₀) ekan.
Bu teorema bir o‘zgaruvchili funksiya uchun differensiallanuvchi bo‘lish hosilaning mavjud bo‘lishiga teng kuchli ekanligini anglatadi. Shu sababli hosilani topish amali funksiyani differensiallash, matematik analizning hosila o‘rganiladigan bo‘limi differensial hisob deb ataladi.
Shunday qilib, avvalgi 1-ta’rif bilan ekvivalent bo‘lgan ushbu ta’rifni ham berish mumkin:
2-ta’rif. Agar f(x) funksiya x=x₀ nuqtada chekli f’(x₀) hosilaga ega bo‘lsa, u holda f(x) funksiya x=x₀ nuqtada differensiallanuvchi deyiladi.

2-§. Funksiya differensiali, uning geometrik va fizik ma’nolari.

1. 
   Funksiya differensiali.
   

f(x) funksiya (a;b) intervalda aniqlangan bo‘lib, x(a;b) nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsin. Ya’ni funksiyaning x nuqtadagi orttirmasini

y 
f ' ( x )x  ( x )x
(2.1)

ko‘rinishda yozish mumkin bo‘lsin, bunda x0 da (x)0.
Ta’rif. x nuqtada differensiallanuvchi f(x) funksiya orttirmasi (2.1) ning bosh qismi f’(x)x berilgan f(x) funksiyaning shu nuqtadagi differensiali deyiladi va dy yoki df(x) orqali belgilanadi, ya’ni dy=f’(x)x.
Masalan, y=x² funksiya uchun dy=2xx ga teng.
Agar f(x)=x bo‘lsa, u holda f’(x)=1 va df(x)=1x, ya’ni dx=x bo‘ladi.
Shuni hisobga olgan holda argument orttirmasini, odatda, dx bilan belgilashadi.
Buni nazarga olsak, f(x) funksiya differensialining formulasi
dy=f’(x)dx yoki dy=y’dx (2.2)
bo‘ladi.

2. Differensialning geometrik ma’nosi.

Endi x(a;b) nuqtada differensallanuvchi bo‘lgan f(x) funksiyaning grafigi 18-rasmda ko‘rsatilgan chiziqni ifodalasin deylik.
Bu chiziqning (x,f(x)) va (x+x, f(x+x)) nuqtalarin mos ravishda M va K bilan belgilaylik. Unda MS=x, KS=y bo‘ladi. f(x) funksiya x nuqtada chekli f’(x) hosilaga ega bo‘lgani uchun f(x) funksiya grafigiga uning M(x,f(x)) nuqtasida

o‘tkazilgan ML urinma mavjud va bu urinmaning burchak koeffitsienti tg=f’(x). Shu ML urinmaning KS bilan kesishgan nuqtasini E bilan belgilaylik. Ravshanki, MES dan

^EC  tg . MC
Bundan

ES=MStg=f’(x)x ekani kelib chiqadi. Demak, f(x) funksiyaning x nuqtadagi differensiali dy=f’(x)x funksiya grafigiga M(x,f(x)) nuqtada o‘tkazilgan urinma orttirmasi ES ni ifodalaydi. Differensialning geometrik
ma’nosi aynan shundan iborat. 18-rasm

3. Differensialning fizik ma’nosi.

Moddiy nuqta s=f(t), bu erda s –bosib o‘tilgan yo‘l, t-vaqt,
f(t)-differensiallanuvchi funksiya, qonuniyat bilan to‘g‘ri chiziqli harakatlanayotgan bo‘lsin.
t vaqt oralig‘ida nuqta s=f(t+t)-f(t) yo‘lni bosib o‘tadi. Yo‘lning bu orttirmasini
s=f’(t)t+(t)t
ko‘rinishda ifodalashimiz mumkin. Bu yo‘lni nuqta biror o‘zgaruvchan tezlik bilan bosib o‘tgan. Agar t vaqt oralig‘ida nuqta o‘zgarmas f’(t) tezlik, ya’ni t vaqtdagi tezligiga teng tezlik bilan harakatlandi desak, bu holda bosib o‘tilgan yo‘l f’(t)t ga teng bo‘ladi. Bu esa yo‘lning differensialiga teng:
ds= f’(t)t.