R. M. Turgunbaev

2x+3=(A+B)x+(-3A-2B)
tenglikka ega bo‘lamiz. Ikki ko‘phadning tenglik shartidan (ikki ko‘phad teng bo‘lishi uchun o‘zgaruvchining mos darajalari oldidagi koeffitsientlar teng bo‘lishi zarur va yyetarli) quyidagi tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi:
_ A  B  2,


^ 3A  2B  3
Bu sistemaning yechimi A=-7, B=9 ekanligini ko‘rish qiyin emas. Topilgan natijalarni (8.1) tenglikka qo‘yamiz va yuqorida isbotlangan xossalardan foydalanib, berilgan funksiyaning n-tartibli hosilasini kuyidagicha yozish mumkin:


y⁽ⁿ⁾=-7 ^
_{1 }( n )

+9 ^
_{1 }( n )

(8.7)


_ x  2 _{ } x  3 _

Endi
¹ va
x  2
1


x  3
funksiyalarning n-tartibli hosilalarini topishimiz lozim.

Buning uchun u=
¹ funksiyaning n-tartibli hosilasini bilish yyetarli. Bu
x  a

funksiyani u=(x+a)^-1 ko‘rinishda yozib, ketma-ket hosilalarni hisoblaymiz. U holda
u’=-(x+a)^-2, u’’=2(x+a)^-3, u’’’=-23(x+a)^-3=-6(x+a)^-4.
Matematik induksiya metodi bilan
u⁽ⁿ⁾=(-1)ⁿn!(x+a)^-n-1 (8.8)
Shunday qilib, (8.7) va (8.8) tengliklardan foydalanib quyidagi

(n)


n -n-1 n


-n-1
_n  _{9 7} 

y =-7(-1) n!(x-2)
+9(-1) n!(x-3)
=(-1) n! ^  ^
 

^ ( x  ⁿ3 )

( x  ^{n }2)
natijaga erishamiz.

3. 
   xossa. Agar u(x) va v(x) funksiyalar n-tartibli hosilalarga ega bo‘lsa, u holda bu ikki funksiya ko‘paytmasining n -tartibli hosilasi uchun
   

( uv )^{( n )}  u^{( n )}v  C_n' u^{( n1 )}v' C ²u^{( n2 )}v' ' ...  C^ku^{( nk )}v^{( k )}  ... 

+ C_n
n ^n1_{u' v}( n1 ) _{ uv}( n )
n
(8.9)

n
formula o‘rinli bo‘ladi. Bunda C^k
_ n( n  1)...( n  k  1) _.
k!

Isboti. Matematik induksiya usulini qo‘llaymiz. Ma’lumki,
(uv)’=u’v+uv’. Bu esa n=1 bo‘lganda (8.9) formulaning to‘g‘riligini ko‘rsatadi. Shuning uchun (8.9) formulani ixtiyoriy n uchun o‘rinli deb olib, uning n+1 uchun ham to‘g‘riligini ko‘rsatamiz. (8.9) ni differensiyalaymiz:
( uv )^n1  u^{( n1)}v  u^{( n )}v' C'_n u^{( n )}v' C_n' u^{( n1)}v' ' C ²u^{( n1)}v' ' C ²u^{( n2 )}v' ' ' 
n n
_{ ...  C}k_u( n  k 1 )_v( k ) _{ C}k_u( n  k )_v( k 1 ) _{ ...  C}n 1_{u' ' v}( n 1 ) _{ C}n 1_{u' v}( n ) _

n n
_{+ u' v}( n ) _{ uv}( n1 )
Ushbu
n n
(8.10)

1  C
'  1  n  C'
_{C ' C 2  n } n( n 1) _ ( n  1)n _{ C 2 ,}

n n 1, n n
_{2 2} n 1

_Ck 1 _{ C}k
_ n( n 1)...( n  2  k ) _ n( n 1)...( n  k  1) _


^{n n} ( k 1)! k!
₌ ( n  1)n...( n  1  ( k 1)) _{ Ck
k!} n1
tengliklardan foydalanib, (8.10) ni quyidagicha yozamiz:

_{( uv )}n1 _{ u}( n1 )_{v  C}1
u^{( n )}v' C ²
u^{( n1)}v'' ... C^k
_u n1k _v( k ) _{ ... uv}( n1 )

n1
n1
n1

Demak, (8.9) formula n+1 uchun ham o‘rinli ekan. Isbot etilgan (8.9) formula Leybnits formulasi deb ataladi.
Misol. y=x³e^x ning 20-tartibli hosilasi topilsin.
Yechish. u=e^x va v=x³ deb olsak, Leybnits formulasiga ko‘ra

_y( 20 ) _{ x}3 _{( e}x ₎( 20 ) _{ C}1
( x³ )' ( e^x )^{(19 )}  C ² ( x³ )'' ( e^x )^{(18 )}  C ³ ( x³ )''' ( e^x )^{(17 )} 

20 20 20

20
 C ⁴ ( x³ )^{( 4 )}( e^x )¹⁶  ... ( x³ )^{( 20 )} e^x bo‘ladi. (x³)’=3x², (x³)’’=6x, (x³)’’’=6,
(x³)⁽⁴⁾=0 tengliklarni va y=x³ funksiyaning hamma keyingi hosilalarining 0 ga tengligini, shuningdek n uchun (e^x)⁽ⁿ⁾=e^x ekanligini e’tiborga olsak,

y^{( 20 )}  e^x ( x³  3C¹ x²  6C ² x  6C ³
) tenglik hosil bo‘ladi.

20 20 20
Endi koeffitsientlarni hisoblaymiz:

C¹  20,
C ²  ^{20 19}  190,
_{C 3 } 20 19 18 _ 20 19 18 _{ 1140}

20
Demak,
20 ₂
²⁰ 3! 6

y^{( 20 )}  e^x ( x³  60x² 1140x  6840 ).

Savollar

1. 
   Yuqori tartibli hosilalar qanday aniqlanadi?
   
2. 
   Chekli sondagi funksiyalar yig‘indisining n-tartibli hosilasi qanday hisoblanadi?
   
3. 
   Ikkita funksiya ko‘paytmasining n-tartibli hosilasi qanday hisoblanadi? (Leybnits formulasi)
   
4. 
   Ikkinchi tartibli hosilaning mexanik ma’nosi nimadan iborat?
   
5. 
   n-tartibli differensial qanday hisoblanadi?
   
6. 
   Agar x oraliq o‘zgaruvchi bo‘lsa, d⁴y ni yozing.
   

Misollar.

1. 
   Quyidagi funksiyalarning ko‘rsatilgan tartibli hosilalarini toping:
   

1  x²


7 -2x


(4)

a) y=x
, y’’; b) y=arccos _{1  x2} , y’’; c) y=x -e
, y ;

d) y=x²lnx, y⁽⁶⁾; e) y=
^x2 , y⁽⁷⁾; f) y=x²sin3x, y⁽⁵⁰⁾.
1 x

2. 
   Quyidagi funksiyalarning n-tartibli hosilalarini toping:
   

x²  1 x  1
a) y=ln _{x2  6x  9} ; b) y= _{x( x  1)} .

9. §. Parametrik ko‘rinishda berilgan funksiya tushunchasi. Parametrik ko‘rinishda berilgan funksiyaning hosilasini topish.

   1. 
      Parametrik ko‘rinishda berilgan funksiya tushunchasi.
      

Ko‘pincha x o‘zgaruvchining u funksiyasi bitta y=f(x) tenglama bilan berilmasdan, balki x va u lar parametr deb ataladigan uchinchi t o‘zgaruvchining funksiyalari sistemasi

_x  ( t ),


^ y ( t )
(9.1)

orqali beriladi. Bu erda t o‘zgaruvchi biror [,] kesmadan qiymat qabul qiladi. Bunday sistema orqali aniqlangan funksiya parametrik ko‘rinishda berilgan funksiya deyiladi.
Parametrik ko‘rinishda berilgan funksiyani x va y larni bog‘laydigan bitta formula orqali berish uchun (9.1) sistemada t parametrdan qutilish zarur. Buning

uchun (9.1) sistemadagi tenglamalardan biridan, masalan, birinchi x=(t) tenglamadan t ni x orqali ifodalaymiz, ya’ni t=₁(x), (bu erda t=₁(x) funksiya x=(t) funksiyaga nisbatan teskari funksiya) va uni y=(t) ifodaga qo‘yamiz. U holda y=(₁(x))=f(x) bo‘ladi, ya’ni y o‘zgaruvchi x argumentning funksiyasi sifatidagi ifodasi hosil bo‘ladi.
Endi (9.1) sistema bilan berilgan x va y larni Oxy tekislikdagi nuqtaning koordinatalari sifatida qaraymiz. U holda [,] kesmadan olingan t parametrning har bir qiymatiga tekislikda aniq bitta nuqta mos keladi. Agar x=(t), y=(t) funksiyalar t parametrning uzluksiz funksiyalari bo‘lsa, u holda (9.1) sistema tekislikda biror uzluksiz chiziqni ifodalaydi. Bu holda chiziq (9.1) parametrik tenglamalar bilan berilgan deyiladi. (9.1) sistemadagi tenglamalar shu chiziqning parametrik tenglamalari deyiladi.
Chiziqlarni parametrik usulda berilishiga misol sifatida markazi koordinatalar boshida, radiusi R teng bo‘lgan aylana tenglamasini keltirish

mumkin:
_x  Rcost,


^ y  R sin t
t[0;2], bu erda t

geometrik nuqtai nazardan aylananing markaziy burchagini ifodalaydi. ( 1-rasm)
Aynan shu t parametrni vaqt deb qarashimiz ham mumkin. Haqiqatan ham, nuqtaning tekislikdagi har qanday harakatini t vaqtning funksiyasi bo‘lgan x va y koordinatalar
orqali berish mumkin. Shunday qilib, fizik nuqtai

12. 
    rasm nazardan (9.1) sistemadagi ikki funksiya harakatdagi nuqtaning traektoriyasini aniqlaydi.
    

Qaralayotgan masala mazmunidan kelib chiqqan holda t parametrga turli ma’no berish mumkin. Masalan t parametr burchak, vaqt, temperatura, yoy va h. bo‘lishi mumkin.

2.