Qovushqoq bo’lmagan suyuqliklar dinamikasi. Режа

6.2. Qovushqoq bo’lmagan suyuqlik harakatining differensial tenglamalari va ularni integrallash.
zichlikka ega bo’lib, qovushqoq bo’lmagan suyuqlikning harakatini qarab chiqamiz. Uning ichida koordinata o’qlariga qirralari dx, dy, dz parallel bo’lgan parallelepiped ajratib olamiz (6.1-rasm). Parallelepiped hajmidagi suyuqlik massasiga proporsional bo’lgan massali kuchlar va x o’q bo’yicha parallelepiped tomonining ichki normali bo`yicha yonalgan suyuqlik sirtqi kuchlar harakatini qaraymiz.

6.1-rasm. Parallelepiped shaklidagi qovushqoq bo’lmagan suyuqlik sxemasi

Muvozanat shartlariga ko’ra bu zarrachaga chap tomondan o’ng tomondan
bosim kuchlari va

massa kuchlari ta’sir qiladilar.
Bu ifodalarda: p- chap tomon markazidagi bosim; X – x massali kuchlar tezlanishining x o’qdagi proyeksiyasi.
Suyuqlik harakati holatida ta’sir qiluvchi kuchlar proyeksiyalarining algebraik yig’indisi, zarracha massasi, uning du_x/dt harakati tezlanishi proyeksiyalari ko’paytmasiga teng bo’lgan, inersiya kuchlari proyeksiyalariga teng bo’lishi kerak. Buni hisobga olib,

yoki soddalashtirishdan keyin



ekanligi hosil bo’ladi.
Xuddi shuningdek, y va z o’qlari uchun ham tenglamalarni hosil qilish mumkin. Unda tenglamalar quyidagi ko’rinishni oladilar:
(6.1)
Bular qovushqoq bo’lmagan suyuqlik harakatining differensial tenglamalari bo’lib hisoblanadi. Bu differensial tenglamalar L.Eyler tomonidan topilgan.
(6.1) tenglamalarda umumiy holda to’rt noma’lum: p, u_x, u_y , u_z . Bundan kelib chiqadiki, bu sistemani yechish uchun yana bir tenglama, aniqrog’i uzluksizlik tenglamasi kerak.
Eyler tenglamasini integrallash uchun quyidagi almashtirishlarni amalgam oshirish zarur. Bu almashtirishlarni x o’qi uchun tenglama misolida qarab chiqamiz. Tezlik, umumiy holda vaqtning va fazoning koordinat funksiyasi ekanligini hisobga olib, x o’qdagi tezlik proyeksiyalarining to’liq differensiyalari quyidagicha bo’lishini yozamiz:

ekanliklarini inobatga olib, x o’q uchun
Eyler tenglamasini

hosil qilamiz.
va xususiy hosilalarini uyurma komponentlari


orqali ifodalash mumkin. Unda tenglama

ko’rinishni oladi.

ekanligini yozamiz va yuqoridagi qavs ichidagi ifodani o’zgartiramiz:

Unda

bo’ladi.
ekanligini nazarda tutib, y va z o’qlar uchun tenglamalarni oxirgi ko’rinishda yozamiz:
(6.2)

Eyler tenglamasi I.S.Gromeka tomonidan o’zgartirilib, (6.2) ko’rinishga keltirilgan. Tenglamaning bu ko’rinishida uyurmali harakatning bo’lish yoki bo’lmasligi ko’rsatiladi.

Gromeka tenglamasini integrallash uchun birinchi tenglamani dx, ikkinchisini dy, uchinchisini dz larga ko’paytiramiz va ularni oldindan belgilarni teskarisiga almashtirib qo’shamiz:

Bu ifodaning o’ng tomoni aniqlovchi kabi ko’rsatilgan bo’lishi mumkin:
b (6.3)
Umumiy holda bu tenglama harakatlayotgan suyuqlik butun hajmdagi kattalik o’zgarishining qonunini ifodalaydi, ya’ni massali kuchning bosimi, tezligi, tezlanishlarini harakat tezlanishi bilan o’zaro bog’laydi. (6.3) tenglama (6.2) kabi uyurmasiz ( ) va uyurmali ( ) barqaror ( ) harakat uchun o’rinli bo’ladi. Nobarqaror ( ) harakatda bu tenglamalar tezlik potensiali va uning hosilasi bo’lgandagi faqat uyurmasiz harakatni ifodalashi mumkin. (6.3) tenglamaning umumiy integrali bu tenglamaning o’ng tomoni nolga teng bo’lgandagi qovushqoq bo’lmagan suyuqlikning harakati hollari uchun ancha oson topiladi.
Unda
(6.4)
va bu ifoda Lagranj integrali deyiladi. Xususiy holdagi barqaror harakatda
(6.5)
bo’ladi.
Bu ifoda 1738 yilda Peterburg fanlar Akademiyasining akademiki Daniil Bernulli tomonidan taqdim qilingan va Bernulli tenglamasi yoki integrali deb ataladi. Xususan, agar ta’sir qiluvchi massali kuchlardan faqat og’irlik kuchi ta’sir qilsa, unda

Unda va
Bularni inobatga olib, Bernulli tenglamasi quyidagi ko’rinishni oladi:
. (6.6)
(6.4), (6.5) va (6.6) ifodalar faqat (6.3) tenglamaning o’ng tomoni nolga teng bo’lgan holatlarda o’rinli bo’ladi, ya’ni
(6.7)
Bu shart xususiy hollarda, qachonki aniqlovchining qandaydir qator yoki qandaydir ikki qatori bir-biriga proporsional bo’lganda bajariladi. Bu holatlarni alohida qarab chiqamiz.
1. Birinchi va uchunchi qator a’zolari proporsional, ya’ni

shart bajarilganda, Bernulli tenglamasi o’rinli bo’ladi. Bu shart oqim chiziqlarida bajariladi. Shunga ko’ra, oqim chizig’i bo’yiga Bernulli tenglamasi o’rinli. Har xil oqim chiziqlari uchun (6.5) tenglamaning o’zgarmas qiymati umumiy holda har xil bo’ladi.
2. Birinchi va ikkinchi qatorlar a’zolari proporsional, ya’ni Bernulli tenglamasi

shart bajarilganda o’rinli bo’ladi. Bu tenglama uyurma chiziq to’plami bo’ladi. Bundan kelib chiqadiki, C₁ ,C₂ , …C_n har xil o’zgarmas bo’lgan har qaysi uyurma chiziqlari uchun ham (6.6) tenglama o’rinli bo’ladi.
3. Ikkinchi va uchinchi qator a’zolari proporsional:

Bu nisbatlardan

Bu ifodalarni uyurma chiziq

tenglamasiga qo’yib, oqim chizig’i tenglamasini

hosil qilamiz. Bu qaraladigan holda, u tezlik va burchak tezliklari vektorlari (ularning yo`nalishlari mos tushadi) parallel. Bunday harakatga vintli harakat deyiladi. Vintli harakatda zarrachalar oqim chizig`I bo`yicha ko`chadilar (harakat barqaror bo`lgani uchun oqim chizig`i va zarracha traektoriyasi mos tushadi), aynan shu vaqtning o`zida uyurma chiziqlari bo`lib hisoblanadi. Suyuqlik ixtiyoriy nuqtasidagi vintli harakatda (6.5) Bernulli tenglamasini qo`llash
mumkin.
4.Aniqlovchining ikkinchi qatori a’zolari nolga tengligi

sharti, harakatni uyurmasiz (potensial) ekanligini bildiradi.
Potensial harakat zonasining hamma nuqtalari uchun (6.5) Bernulli tenglamasi o’rinli bo’ladi.
5.Aniqlovchining uchinchi qatori a’zolarining nolga tengligi

sharti suyuqlikning muvozanat holatiga mos keladi.