Qoraqalpoq davlat universiteti


Giperbolik tipdagi tenglamalar uchun Riman funksiyasi



Download 184,07 Kb.
bet4/6
Sana05.07.2022
Hajmi184,07 Kb.
#742903
1   2   3   4   5   6
Bog'liq
KURS ISHI (2)

Giperbolik tipdagi tenglamalar uchun Riman funksiyasi


Qo’shma differensial operator tushunchasi.Grin formulasi.
Chiziqli giperbolik tipdagi tenglama uchun boshlang’ich chegaraviy masalalar yechimlarining integral ifodasini olish uchun kerakli bo’lgan ayrim yordamchi formulalarni keltiramiz.
Faraz qilaylik,
(1)
chiziqli giperbolik tenglamaga mos differensial operator bo’lsin.
Bu yerda a(x,y),b(x,y) va c(x,y) qaralayotgan operatorning koeffitsiyentlari, biror sohada berilgan funksiyalar bo’lib, ular a(x,y), b(x,y) va c(x,y)
bo’lsin.
operatorni biror v(x,y) funksiyaga ko’paytiramiz va buning uchun quydagi ayniyat o’rinli:
(2)
Bu yerda
(3)
va

.
(3) formula bilan aniqlangan L* operator L operatorga qo’shma operator deyiladi.
Agar ayirmani biror H va K ifodalarning mos ravishda x va y o’zgaruvchilar bo’yicha xususiy hosilalarining yig’indisi ko’rinishida ifodalash mumkin bo’lsa, u holda ikkita L va L* differensial operatorlar o’zaro qo’shma operatorlar deyiladi.
Agar bo’lsa u holda o’z-o’ziga qo’shma operator deyiladi.
tekislikda S bo’lakli silliq chiziq bilan bilan chegaralangan soha D bo’lsin. Endi (2) ayniyatni D sohada integrallaymiz va unga matematik analiz kursidan ma’lum bo’lgan Grin formulasini qo’llaymiz.
Natijada
(4)
Ifodaga ega bo’lamiz. Bu formula ham ikki o’lchovli Grin formulasi deyiladi.
Riman usuli.Nemis matematigiR.Riman chiziqli giperbolik tipdagi tenglamalar uchun Koshi va Gursa masalalarining yechimini qurish usulini tavsiya qilgan.
Quyidagi Koshi masalasini qaraylik. Koshi masalasi.Yopiq sohada aniqlangan, uzluksiz va
(5)
Funksiyalar sinfiga tegishli
(6)
Tenglamaning quyidagi
; (7)
Shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,y) yechimini toping. Bu yerda a(x,y), b(x,y) – uzluksiz va birinchi tartibli hosilalarga ega, c(x,y) va f(x,y) - uzluksiz funksiyalar, - berilgan funksiyalar, n esa egri chiziqqa o’tkazilgan normal.
Ma’lumki, (6) tenglamaga mos xarakteristik tenglama bo’lib, const, const to’g’ri chiziqlar tenglamaning xarakteristikalari bo’ladi.
Tekislikda biror egri chiziq berilgan bo’lib, (6) tenglamaning xarakteristikalari bu egri chiziqni bittadan ortiq nuqtalarda kesib o’tmasin.

nuqtani belgilab, bu nuqtada xarakteristikalarni o’tkazamiz. Bu xarakteristikalar berilgan chiziq bilan P va Q nuqtalarda kesishib, MPQ egri chiziqli uchburchak hosil qiladi. MPQ egri chiziqli uchburchak bilan chegaralangan soha bo’lsin.
Faraz qilaylik, (5)-(7) masalaning u(x,y ) yechimi mavjud bo'lsin. U holda yopiq sohada aniqlangan, uzluksiz va ,
shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy v(x,y) funksiya uchun (4) ayniyat o'rinli.
Noma'lum u(x,y) funksiyaning nuqtadagi qiymatini aniqlaymiz. Buning uchun (4) ifodani sohada integrallab, Grin formulasini qo‘llaymiz.
Natijada

hosil bo'ladi.
Bu yerda kontur PQ yoydan hamda QM va M P xarakteristikalardan iborat.
Endi (4) ifodaning o‘ng tomonidagi QM va M P xarakteriskalar bo'yicha olingan integrallarni qaraylik.
QM xarakteristikada, dy=0 M P xarakteristikada esa dx=0 bo'lgani uchun (4) tenglik quyidagi ko'rinishga keladi:

(8)
Endi integrallarni alohida-alohida hisoblaymiz.
(9)
(10)
(11)
Topilgan integrallarning (9), (10) va (11) ifodalarini (8) formulaga qo'yib, mos hadlarini soddalashtirsak, quyidagi
. (12)
formulaga ega bo‘lamiz. (12) formulauing o’ng tomonidagi ikki karrali integral va QM va MP xarakteristikalar bo‘yicha integrallarda noma'lum u(x,y) funksiya qatnashyapti. Riman usulining asosiy maqsadi, shu integrallarni nolga aylantiradigan qilib, v funksiyani tanlashdan iborat.

Faraz qilaylik, ikki juft o‘zgaruvchilarga bog‘liq bo'lgan funksiya quyidagi



  1. xy sohada

, (13)
bir jinsli tenglamani va

  1. , (14)

  2. , (15)

  3. bo’lganda


, (16)
shartlarni qanoatlantirsin.
Endi (13)-(16) shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyaning mavjudligini isbotlaymiz. Buning uchun (14) tenglikda x ni bilan almashtirib, hosil bo‘lgan ifodani dan gacha integrallaymiz.
Natijada

hosil bo'ladi. Bundan (16) tenglikka asosan QM xarakteristikada ushbu
, (17)
tenglikni olamiz.
Huddi shunday qilib (15) tenglikdan MP xarakteristikada esa

ifodani olamiz.
Yuqoridagi shartlardan ko'rinadiki, funksiya birinchi juft argumentlari bo‘yicha (13) tenglamaning (17) va (18) shartlarni qanoatlantiruvchi Gursa masalasining yechimidan iborat.
Agar (6) tenglamaning a(x, y), b(x, y) va c(x, y) koeffitsiyentlari sinfga tegishli bo'lsa, u holda (13), (17)-(18) masalaning yagona yechimi mavjud bo’ladi. Bundan esa (13) - (16) shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyaning mavjud va yagonaligi kelib chiqadi.
Chiziqli (6) tenglamaga qo'shma bo’lgan bir jinsli

tenglamaning


shartlarni qanoatlantiruvchi yechimiga Riman funksiyasi deb ataladi va bu funksiya deb belgilanadi.
Endi (12) formulada deb almashtirib,
(19)
ifodani hosil qilamiz. Bu yerda qiymat tenglamaning yechimi, ya'ni
Yuqorida hosil qilingan (19) formula Riman formulasi deyiladi. Bu formula chiziqli giperbolik tipdagi (6) tenglamaning (7) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimining Riman funksiyasi orqali integral ifodasini beradi. Riman formulasini keltirib chiqarilishidan Koshi masalasi yechimining yagona ekanligi kelib chiqishi mumkin. Chunki funksiyaga nisbatan uning mavjudligidan boshqa hech qanday ortiqcha shart talab qilinmadi.

Download 184,07 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish