Qoraqalpoq davlat universiteti

Koshi masalasi

Quyidagi tenglamani ko`rib chiqaylik
(1)
Bu yerda и – funksiyalar ikkita erkli o`zgaruvchili va uzluksiz funksiyalar bo`lsin
U xolda (1) tenglamaning xarakteristik tenglamalari quyidagicha bo’ladi

Bu tenglama mos ravishda y va x yechimlarga ega.Demak const, const (1) tenglamaning xarakteristik mohiyati hisoblanadi.
Koordinata o‘qlariga parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar bilan bir nuqtadan ko‘p bo‘lmagan holda kesishuvchi XOY tekislikda l egri chizig‘ining yoyi berilgan bo‘lsin. Bu yoyning tenglamasini y=g(x) yoki x=h(y) shaklida yozish mumkin.
Nolga teng bo’lmagan va , hosilalari mavjud deb qaraymiz.
va qiymatlari l egri chizig`I yoyi bo’ylab berilgan bo’lsin
(2)
Koshi ma`lumotlari (2) egri chizig`ida hosilaning qiymatlarini topishga imkon beradi. Darhaqiqat (2) shartlarning birinchisini x g nisbatan farqlab quyidagiga ega bo’lamiz

buyerda
(3)
Koshi masalasi quyidagicha tuzilgan: l egri chizig'ining ma'lum bir qo'shnisida (2) Koshi ma'lumotlarini qanoatlantiradigan (1) tenglamaning yechimini topish talab etiladi.
Quyidagi funksiyalarni kiritamiz
(4)
U holda (1) tenglama uchta tenglamalar sistemasiga ekvivalent bo'ladi

1-rasm

(5)
ABCD to‘rtburchakda ixtiyoriy N(x,y) nuqtani olamiz (1-rasm) va u orqali l egri chizig‘i bilan kesishguncha NP va NQ xarakteristikalarini o‘tkazamiz. Sistemaning birinchi va uchinchi tenglamalarini (5) QN to'g'ri chiziq bo'ylab, ikkinchisini esa PN bo'ylab va (2), (3) va (4) ni hisobga olgan holda integrallash orqali biz quyidagilarga erishamiz:
(6)
Shubhasiz, agar u(x,y) (1) tenglamaning yechimi bo‘lsa, aniqki, u(x,y) tenglamaning (1) Koshi masalasini (2) qanoatlantiruvchi yechimi bo‘lsa, u holda v,w va funksiyalar. va integral tenglamalar sistemasini qanoatlantiring (6). Aksincha, (6) tenglamalar sistemasining uzluksiz yechimi (u,v,w) differensial tenglamalar sistemasini (5), u(x,y) funksiya esa (1) tenglama va (2) shartlarni qanoatlantiradi. . Darhaqiqat, (6) sistemaning uchinchi tenglamasidan biz ∂u/∂y=w ga egamiz. Bundan tashqari, (4), (5), (3) va birinchi tenglama (6) tufayli,

Shuning uchun (4) ikkala tenglama ham bajariladi. Endi (5) sistemaning birinchi tenglamasiga (4) ni almashtirsak, u(x,y) funksiya (1) tenglamani qanoatlantirishini ko‘ramiz. Ko'rinib turibdiki, u (x, y) ham Koshi ma'lumotlarini (2) qanoatlantiradi.
Shunday qilib, (1)-(2) Koshi muammosi (6) integral tenglamalar sistemasining uzluksiz yechimi mavjudligini isbotlash uchun qisqartirildi.
(6) sistemaning yechimi ketma-ket yaqinlashish usuli bilan izlanadi. Nolga yaqinlik uchun biz

larni olamiz va quyidagi taxminlar formulalar bo'yicha hisoblanadi:
(7)
BCD egri chiziqli uchburchakda , ketma-ketliklarning bir xil yaqinlashuvchi ekanini isbotlaymiz (1-rasm).
Bizda quyidagilar bor
(8)
farqlar quyidagi tengsizliklarni qanoatlantirsin:
(9)
Bu yerda va -qandayda bir doimiy.
n=1 uchun (9) ning to‘g‘riligi A ni yetarlicha katta tanlasak, yaqqol ko‘rinadi. Bu tengsizliklar n ni n + 1 bilan almashtirilganda ham o‘z kuchini saqlab qolishini ko‘rsataylik. Tenglikdan (8) biz, masalan,

Boshqa farqlar va va (9) qatorning mutlaq va bir xil yaqinlashuviga amal qiladi

hadlari bir xil konvergent qatorning hadlaridan mutlaq qiymatdan kichik bo'lgan

Shuning uchun BCD egri chiziqli uchburchakda ketma-ket va yaqinlashuvlari mos ravishda v, w va u chegaralariga bir xilda intiladi. Chegaraviy funksiyalar uzluksiz, chunki barcha keyingi yaqinlashishlar uzluksizdir. (7) formulalardagi chegaraga o'tsak, v(x,y),w(x,y) va u(x,y) limit funksiyalari (6) sistemani qanoatlantirishini topamiz.
(6) sistema yechimining o'ziga xosligi. Faraz qilaylik, (6) va . sistemaning ikki xil uzluksiz yechimlari mavjud. belgilaymiz. Keyin V, W, U bir jinsli tenglamalar tizimini qanoatlantiradi

(10)
ekanligini isbotlashimiz kerak. V, W va V funktsiyalari BCD yopiq egri chiziqli uchburchakda uzluksiz funktsiyalarning farqlari sifatida uzluksiz va chegaralangan. Shunday qilib, shunday doimiy B mavjud

(10 dan bizda :


Matematik induktsiya usulini qo'llash orqali biz quyidagi natijalarni olamiz

har qanday n uchun. Bundan kelib chiqadiki
, т. е. , .