Qoraqalpoq davlat universiteti

3.Tekis yaqinlashuvchi funksional ketma-ketlik va qatorlarning xossalari
Funksional qatorlarda (ketma-ketliklarda) shuni ta’kidlash lozimki, ulaming har bir hadi uzluksiz bo‘lgan taqdirda ham qatorning yig‘indisi (ketma-ketlikning limit funksiyasi) uzluksiz bo'lishi shart emas.
Misol. funksional qator berilgan bo'lsin. Bu funksional qatorda
Berilgan qatorning yig'indisi topamiz:

Bu tenglikdan ko'rinadiki va funksiya x=0 nuqtada uzluksiz emas. Berilgan qator uchun ushbu

munosabat o'rinli. >
Tabiyiy savol tug‘iladi: qanday shartlar bajarilganda funksional qatorlarda hadlab limitga o‘tish, ulami hadlab differensiallash va integrallash mumkin?
Bu savollarga quyidagi teoremalar javob beradi.
Bizga M to‘plamda yaqinlashuvchi (7)-funksional qator berilgan bo‘lib, bu qatorning yig‘indisi bo‘lsin.
l-teorema. Agar uchun bo‘lib, (7)-qator M to‘plamda tekis yaqinlashsa, bo‘ladi, ya’ni uchun

tenglik bajariladi.
Agar M to'plamda yaqinlashuvchi (l)-funksional ketma-kcl/ik berilgan bo'lib, f(x ) funksiya uning lim it funksiyasi bo'lsa, unda quyidagi teorema o'rinli bo'ladi.
2-teorema. Agar bo‘lib, M to'plamda bo'lsa bo'ladi.
3-teorema. Agar (7 )-funksional qator M to'plamda tekis yaqinlashuvchi va nuqta M to'plamning limit nuqtasi bo'lib,

bo'lsa, u holda

qator ham yaqinlashuvchi, uning yig'indisi С esa ning dagi limitiga teng bo'ladi:

Faraz qilaylik, kesmada yaqinlashuvchi (7)-funksional qator berilgan bo'lib, uning yig'indisi bo'lsin.
4-teorema. Agar (7)-qator kesmada tekis yaqinlashuvchi bo'lib, bo'lsa, u holda quyidagi

qator ham yaqinlashuvchi va uning yig'indisi ga teng bo'ladi:
Izoh. 4-teoremadagi (7)-qatorning tekis yaqinlashuvchanligi sharti yetarli shart bo'lib, u zaruriy shart emas, ya’ni ba’zan tekis yaqinlashmaydigan qatorlarni ham hadlab integrallash mumkin.
Misol. funksional qator berilgan bo'lsin.

[0,1] da ga tekis yaqinlashmaydi, lekin
va


Demak, lekin qator [0,1] kesmada tekis yaqinlashmaydi.
5-teorema. Agar (7)-funksional qatorning har bir hadi
kesmada uzluksiz hosilaga ega bo‘lib , (14)
funksional qator da tekis yaqinlashuvchi bo‘Isa, u holda berilgan (7)-qatorning yig‘indisi shu da hosilaga ega va
englik o‘rinli bo‘ladi.
Izoh. Bu teoremada ham (14)-funksional qatorning tekis yaqinlashuvchanlik sharti yetarli shart bo‘lib zaruriy shart emas.