Qoida bilan berilgan akslantirish (bu yerda ) gomomorfizm bo’lishini aniqlang

1.5. Normal bo’luvchilar va faktor gruppa. Gruppaning gomomorf obrazlari.

11-m i s o l.   qoida bilan berilgan   akslantirish (bu yerda  ) gomomorfizm bo’lishini aniqlang.

Yechish.Gomomorfizm shartini tekshiramiz.   bo’lsin, u holda   ya’ni  gomomorfizmdir. ■

12-m i s o l. Oltinchi tartibli   siklik gruppaning o’n sakkizinchi tartibli   siklik gruppaga hamma gomomorfizmlarni toping.

Yechish.   va   - mos ravishda   va   gruppalarning yasovchilari va  biror gomomorfizm bo’lsin.

U holda   bo’lgani uchun   va gomomorfizmda birlik element birlik elementga (bu yerda  ning birliik elementi) o’tishi hisobga olinsa,   gruppada faqat beshta:   element bunday xususiyatga ega bo’lib   gruppada boshqa hyech qanday elementning oltinchi darajasi birga aylanmasligini ko’ramiz. Shunday qilib ko’rilayotgan misolda gomomorfizmlar oltita. Bular:

   Bulardan birinchisida gruppa to’laligicha birlik elementga o’tadi.   ning gomomorfizm ekanligini tekshiraylik.   dan olingan   va   ( ) elementlarni olib qaraylik.

,

ya’ni   gomo-morfizm.   larning gomomorfizmligi ham xuddi shundaay tartibda ko’rsatiladi. ■

         Faktor-gruppalarni hisoblashda gomomorfizmlar haqidagi teorema katta foyda berishi mumkinligini ta’kidlab o’tamiz. Agar G gruppa berilgan bo’lib N uning normal boмисолл’luvchichi bo’lsa,   faktor-gruppani topish uchun G ning biror shunday   gruppaga gomomorfizmini tuzish kerakki, uning yadrosi N ga teng bo’lsin. U holda gomomorfizmlar haqidagi teoremaga ko’ra   faktor-gruppa G ga izomorf bo’ladi.

         13-m i s o l.   gruppaning   normal qismgruppa bo’yicha faktor-gruppasini toping.

Yechish. 10-misoldagi ushbu   gomomorfizmni olib qaraymiz. Agar har bir qo’shni sinfga shu qo’shni sinfga kiruvchi hamma matritsalarning determinantiga teng sonni mos qilib qo’yilsa, u holda bu gomomorfizmning yadrosi   bo’ladi. Bundan   ■

         14-m i s o l. 8-misolni gomomorfizmlar haqidagi teoremaga asoslanib yechamiz.

         Yechish. Har bir   kompleks songa uning   modulini mos qilib qo’yamiz.   tenglikdan   moslik   gruppaning   gruppaga gomomorfizmi ekanligi kelib chiqadi. Uning yadrosi bo’yicha 1 ga teng bo’lgan barcha kompleks sonlarning   qismgruppasining xuddi o’zi bo’ladi. Demak,   ■

15-m i s o l. Moduli 1 ga teng bo’lgan barcha kompleks sonlarning   multiplikativ gruppasining 1 va –1 sonlardan iborat N qismgruppa bo’yicha faktor-gruppasini toping.

Yechish. Ushbu   moslikni qarab chiqamiz.   bo’lgai uchun bu akslantirish   gruppaning o’zida gomomorfizmi bo’ladi. Aslida esa, bu   gruppaning o’ziga gomomrfizm bo’ladi, chunki har bir kompleks son boshqa biror sonning kvadrati shaklida ifodalanadi. Bu gomomorfizmning yadrosi faqat va faqat shunday   sonlardan iborat bo’ladiki,  . Ko’rinib turadiki, bular 1 va –1 sonlar bo’ladi, ya’ni yadro N bilan ustma-ust tushadi. Demak, gomomorfizmlar haqidagi teoremaga asosan   ■

16-m i s o l. Oldingi misolda G gruppaning 1 ga teng bo’lmagan N normal bo’luvchisi bo’yicha faktor-gruppasi   gruppaning o’ziga izomorf bo’lishi ko’rindi. Bu hol   chekli gruppa bo’lganda ham sodir bo’lishi mumkinmi?

Yechish. Bo’lishi mumkin emas, chunki Lagrnj teoremasiga asosan bu holda   faktor-gruppaning tartibi   ning tartibining N ning tartibiga bo’linmasi, ya’ni   gruppaning tartibidan kichik bo’ladi. ■