Qism gruppalar. Faktor gruppalar

3. Qism gruppalar
Ta’rif : gruppaning qism to’plami dagi algebraic amalga nisbatan gruppa tashkil etsa, ni ning qism gruppasi ( dagi qism gruppa) deyiladi.
Teorema. gruppaning qism to’plami da qism gruppa tashkil etishi uchun quyidagi ikkita shart bajarilishi zarur va yetarli;

1. 
   ∀ ( dagi algebraic amal da ham algebraic amaldir);
   
2. 
   ning istalgan elementiga teskari element ham ga qarashli).
   

Isboti. 1. gruppa ( dagi qism gruppa) bo’lsa, yuqoridagi ikkita shart albatta bajariladi.

3. 
   Ikkala talab ham bajariladi desak, uchun bo’ladi. Endi ga ko’ra uchun ham bajariladi. Teorema isbot bo’ldi.
   

gruppa o’zining qism gruppasidir.
birlik element ning qism gruppasi bo’ladi, chunki bu bitta elementdan tuzilgan E qism to’plam qism gruppa bo’lish shartini qanoatlantiradi. E birlik qism gruppa deyiladi.
gruppa o’zining xosmas qism gruppasi, ning qolgan hamma qism gruppalari esa uning xos (haqiqiy) qism gruppalari deyiladi.
chekli gruppaning har bir qism gruppasi ham cheklidir. cheksiz gruppa chekli yoki cheksiz qism gruppalarga ega. Masalan, chekli qism gruppa, ning o’zi cheksiz qism gruppa.
kommutativ gruppaning istalgan qism gruppasi kommutativdir. nokommutativ gruppa esa kommutativ va nokommutativ qism gruppalarga ega. Masalan, birlik element kommutativ qism gruppa bo’lib, ning o’zi esa nokommutativ qism gruppadir.
Misollar. 1. Qo’shish amaliga nisbatan kompleks sonlar gruppasi uchun butun sonlar gruppasi, ’ ratsional sonlar gruppasi va H’’ haqiqiy sonlar gruppasi cheksiz xos qism gruppalar bo’ladi.
2. Ko’paytirish amaliga nisbatan noldan tashqari barcha kompleks sonlar gruppasi uchun noldan tashqari barcha ratsional sonlar gruppasi cheksiz haqiqiy qism gruppa, esa chekli haqiqiy qism gruppa bo’ladi.