Qattiq jismlar

5.6 – rasm. Kronig – Penin kristallida elektronning apiroksimatsiya potensial funksiyasi.

Agar biz potensiall to’siq orasini b, potensiall to’siq kengligini a va potensial to’siq balandligini U deb belgilab olib,

(9)

ni hosil qilsak 1/P ning fizik qiymati potensial to’siq shaffofligini beradi. Endi yuqoridagi tenglama yechimining matematik ifodalarini keltirmagan holda P ning qiymatiga qarab, elektron energetik holatlarini quramiz:

1. 
   P → ∞ bunda elekrton o’z atomi bilan kuchli bog’langan, uning potensial to’siqdan o’tish ehtimoli yo’q. Bu holat elektronni yakkalangan atomdagi holatiga mos keladi, ya’ni elektron diskret energetik sathlarga ega va ular o’zaro taqiqlangan energetik sohalar bilan ajratilgan.
   
2. 
   P → 0 bunda potensial to’siq shaffof u elektron harakatiga to’sqinlik qilmaydi. Elektron to’la erkin holatda bo’ladi.
   
3. 
   P ˃˃1 bu esa P ning qiymati katta bo’lgani bilan potensial to’siq shaffofligi kam bo’lsa ham mavjud ya’ ni elektron ma’lum vaziyatlarda bu to’siqdan o’ta olishi mumkin. Bu holat, elektronni alohida atomdagi va erkin holat o’rtasidagi vaziyatlariga mos keladi.
   

Bunday holatda elektron endi diskret energetik sathlarda emas, balki bir – biridan ma’lum kenglikka ega bo’lgan taqiqlangan sohalar bilan ajralgan energetik sohalarda ( zonalarda ) joylashadi. Elektron oxirgi to’lgan sohadan keyingi bo’sh sohaga o’tish ehtimoli faqat man etilgan soha kengligi va temperaturaga bog’liq bo’ladi. Shuni yana bir marta ta’kidlab o’tish lozimki, kristall panjarada elektronlarning energetik holatlari kristallda yuzaga kelgan davriy potensial to’siqlar tabiati va tuzilishi bilan aniqlanar ekan.

5.3-§ Elektronning effektiv massasi

Erkin ( vakuumda ) harakat qilayotgan elektronga tashqi elektr maydon ta’sirida o’z harakat tezligini o’zgartirib ( ham yo’nalish ham miqdor tomondan ) tezlanish oladi. Bu tezlanishni Nyutonning 2 – qonuniga asosan quyidagicha yozamiz: F = eE = m∙a= m dv/dt . Endi kristallda issiqlik tufayli tartibsiz harakat qilayotgan elektronga tashqi elektr maydon qo’yilganda uning tezlanishi qanday bo’ladi ? Albatta u erkin elektron harakatidan tubdan farq qiladi, chunki biz oldingi mavzularda ta’kidlaganimizdek, bunday elektronga tashqi elektr maydon kuchidan boshqa yana juda ko’p ta’sirlar: boshqa elektronlar, atom yadrolari ta’siri hamda kristall panjara potensiali ham ta’sir etadi. Bu holda elektronga ta’sir etayotgan kuchlar F = eE + F_u bo’ladi. Ammo F_u – kuchning yo’nalishi va qiymati kristall panjara potensialiga mos o’zgarib turganligi uchun, endi kristalldagi elektron harakat yo’nalish trayektoriyasini aniq o’lchash juda murakkab bo’ladi. Bu masalani yaxshiroq tushunish uchun quyidagi hodisani ko’rib chiqsak. Havoda yuqoridan tushayotgan jism tezlanishi g bo’lsin, u yerning tortish kuchi F_T = m∙g ifodadan aniqlanadi va doimiy qiymatga ega. Agar shu jism suyuqlikka tushirilganda uning Arximed itarish kuchi ta’sir qilishi natijasida uning tezlanishi:

(1)

bu yerda V – suyuqlik hajmi, ρ, ρ_s – havo va suyuqlik zichligi.

Unda jismning suyuqlikdagi tezlanishi:

(2)

Bundan ko’rinib turibdiki, suyuqlikni jismning og’irlik kuchi ta’siridagi harakati jismning massasi qandaydir yangi holat m^x – effektiv massa tushunchasi bilan tushuntirish qulay. ρ_s/ρ ning qiymatiga qarab, m^x m dan kichik bo’lib, musbat hatto manfiy ham bo’ladi. Demak, bu holda suyuqlik jism tezlanishiga ko’rsatgan ta’sirini jismning effektiv massasi orqali ko’rsatilmaydi. Xuddi shunday kristall panjara potensialining tashqi maydon qo’yilganda elektron tezlanishiga ta’sirini ham effektiv massasi tushunchasini kiritish yo’li bilan juda oson ko’rsatish mumkin. Effektiv massa bu elektron harakatiga tashqi maydon va kristall panjara potensialini birgalikda ko’rsatilayotgan ta’sirini ko’rsatuvchi kattalikdir. Effektiv massa - massaga xos modda miqdori va enertsiya o’lchov birligiga xos xususiyat emas, ya’ni u elektron massasi hisoblanmaydi. Bizga ma’lumki, elektron elementar zarracha bo’lganligi uchun u ham zarracha va to’lqin xossalariga egadir. Kvant fizikasida asosan elektronning energiyasi uning De – Broyl to’lqin uzunligi bilan quyidagi ifoda orqali bog’langan:

(3)

Bu yerda k – to’lqin funksiyasi, _{ } . λ – to’lqin uzunligi , h – Plank doimiysi, p – elektron impulsi.

Bu ifodaning birinchi darajali hosilasi elektronning tezligini beradi:

Ikkinchi darajali hosilasi esa tezlanishni beradi:

Tashqaridan qo’yilgan maydon E, ta’sir etayotgan kuch F = eE natijasida bajarilayotgan ish dA bu berilgan vaqtda elektron tezligining o’zgarishi natijasida uning energiyasing o’zgarishidan iborat bo’ladi, ya’ni

(6)

Bunda

(7) ni ifodani (6) ifodaga qo’yib, tashqi ta’sir kuchini k ga bog’liq emasligini hisobga olsak

(5) ifodadan yana bir marta hosila olsak, quyidagi ifodaga ega bo’lamiz:

Endi bu ifoda Nyutonning 2 – qonuniga mos keladi va unda

(9)

Bu ifodani elektronning effektiv massasi deb qabul qilamiz. Bu effektiv massa – odatdagi massa xos bo’lgan inertsiya o’lchovi, og’irlik tortish kuchi va modda miqdori kabi xossalarga ega bo’lmagan kattalikdir. (5) - ifodaga mos yarim o’tkazgichlar elektron energiyasining to’lqin vektoriga bog’liqlik zonalar diagrammasi keltirilgan. Bundan ko’rinib turibdiki, elektron energiyasi bu to’lqin vektori bo’yicha o’zgaruvchi kattalik ekan.

a) b)