Qattiq jismlar

5.1 – jadval. IV – guruh elementlarining elektron qobiqlaridagi elektronlari.

Element	Elektron strukturasi	Eg, eV
C	1s^22s^22p^2	5,48
Si	1s^22s^22p^6 3s^23p^2	1,17
Ge	1s^22s^22p^6 3s^23p^6 3d^104s^24p^2	0,74
Sn	1s^22s^22p^6 3s^23p^6 3d^104s^24p^64d^105s^25p^2	0,082

Shunga mos holda uglerod atomlarida tashkil topgan olmos kristalli juda yaxshi dielektrik (∆E_g=5,6eV), Si (∆E_g=1,12eV), Ge (∆E_g=0,67eV) lar yarim o’tkazgichlar Sn (∆E_g=0,018eV) va Pb lar esa xona haroratida metall bo’lib xizmat qiladi. Demak, biz kristallarda elektronlarning energetik sathlari – energetik sohalarga ega bo’lib, bunda elektronlar bilan to’la band bo’lgan ichki elektron energetik sohalardagi elektronlar o’tkazuvchanlikka yoki umuman shu qattiq jism fizik xossalariga ta’siri bo’lmas ekan. Bu yerda atomning tashqi valent elektronlari asosida hosil bo’lgan valent energetik sohasi va ularning elektronlar bilan bandligi va ularning undan keyingi bo’sh energetik soha bilan qanday kenglikda taqiqlangan energetik soha bilan ajralib turishi bilan aniqlanar ekan. Bizga kvant fizikasidan ma’lumki, elementar zarrachalar, shu jumladan elektron ham zarracha ham to’lqin xossalariga ega. Demak, elementar zarrachalar o’z energiyasiga E=hv, impulsiga p=kh va to’lqin uzunligiga λ=2π/k, tebranish chastotasiga ν=1/λ ega bo’ladi. Bunda k – to’lqin vektori bo’lib, k= 2π/ λ ga teng. De – Broyl nazariyasiga asosan, elementar zarrachalar energiya va to’lqin uzunligi o’rtasidagi bog’lanish:

ga teng bo’ladi.

(2) – ifoda De – Broyl to’lqin uzunligi deb ataladi. Ushbu ifodadan ko’rinib turibdiki, elementar zarracha massasi m va energiyasi E qancha katta bo’lsa, uning to’lqin uzunligi shuncha kichik bo’ladi. Demak, elektronning holatini endi uning to’lqin funksiyasi φ bilan aniqlanadi va shunga mos holda elektronning to’la harakati Shredinger tenglamasi bilan aniqlanadi:

b u yerda - Laplas operatori,

v_o(r) – elektronni potensial energiyasining r vektori, E – elektronning to’la energiyasi.

Bu tenglamani elektronning potensiall energiyasining v_o(r) – berilgan holati va turiga qarab φ(r) ni aniqlash mumkin. Ammo elektronning kristall panjaradagi holati, uning yakka atomdagi holatidan tubdan farq qiladi. Chunki elektronga endi o’zining yadrosidan tashqari barcha qo’shni atomlar yadrolarining ta’siri, yadrolarning o’zaro ta’siri kristall panjarasidagi barcha elektronlarning ta’siri va shu elektronlarning o’zaro ta’siri kristalldagi elektronning potensiall energiyasini aniqlaydi:

Bu yerda m – elektron massasi, i,j – elektron va yadroning radius vektorlari, z_j,z_n – yadroning atom soni, R_jn,r_ik,r_ij – berilgan elektron va yadrolar orasidagi masofa, ε – to’la energiya, φ – elektronning xususiy funksiyasi.

Bu degan so’z endi v(r) kristalldagi barcha atom yadrolari (uzoq, yaqin) barcha elektronlarga ta’sirlashishi natijasida vujudga keladigan o’ta murakkab funksiyaga aylanadi. Agar Si kristallida 1 sm³ da 5∙10²² ta atom bo’ladigan bo’lsa, demak bu atom yadrolarining barchasini ta’sirini ularning koordinatlariga qarab hisoblab chiqish juda qiyin muammoga aylanadi. Shuning uchun bu masalani yechishda adiabatik yaqinlashuv tadbiq etiladi. Bu yaqinlashuvning mohiyati shundan iboratki, elektronlarga nisbatan atom yadrolarini harakati o’z o’rnida qo’zg’almas deb qaraladi. Bunga sabab hatto eng kichik yadro bo’lgan vodorod atom yadrosi ham elektron massasidan 1836 marta ko’p bo’lgani va berilgan haroratda yadro hamda elektronlar kinetik energiyasi bir xil kT ga teng bo’lganligi uchun ularning harakat tezligi elektron harakat tezligidan juda kichikligi asos bo’ladi, ya’ni yadroni qo’zg’almas va uning kinetik energiyasini nolga teng deb qarash mumkin.

Elektron va yadroning o’zaro tezliklari quyidagicha ifodalanadi:

(5)

Kristallda elektron va yadrolarning harakati umuman bir – biriga bog’liq emas va ular o’rtasida hech qanday energiya almashinuvi bo’lmaydi, ya’ni elektron energiyasini o’zgartirmaydi. Demak, elektronlarning harakati yadrolarni hosil qilgan umumiy maydoni asosida yuz bergan holda har bir yadro koordinatasi uning kinetik va potensial energiyalariga bog’liq bo’lmaydi. Unda (4) tenglama elektron uchun quyidagicha bo’ladi:

Ammo bu tenglama ko’rilayotgan elektronning barcha elektronlar bilan o’zaro ta’sirlashish holatini ifodalovchi potensial energiya qismiga ega bo’lgani uchun, uni yechish mumkin. Shuning uchun endi ikkinchi bir elektron yaqinlashuv usulini ko’ramiz. Buning mohiyati – kristallda elektronlarning o’zaro bir – biri bilan ta’sirlashishi o’rniga ko’rilayotgan elektron boshqa bir elektronlar tomonidan hosil qilgan o’rtacha elektr maydon ta’sirida almashtiramiz. Bunda kristalldagi barcha elektronlar yagona yangi effektiv zaryadga ega < zarracha > ta’sirida qolib, ko’rilayotgan elektron harakat holati mana shu zarracha hosil qilgan maydon ta’sirida deb ko’riladi. Bunday yaqinlashish - kristallarda barcha va har xil koordinatsion vektorlarga ega bo’lgan elektronlar o’zoro cheksiz miqdordagi ta’sirlashuvni ko’p elektronlik ta’sirlashish muammosidan qutilishga olib keladi. Endi kristalldagi elektron uchun Shredinger tenglamasi quyidagicha yoziladi:

Demak, bunda v(r) ko’rilayotgan elektronning harakatsiz ionlar hosil qilgan maydondagi ta’sirlashuv potensialli, Ω(r) esa o’sha elektronning barcha elektronlar hosil qilgan maydon bilan ta’sirlashishi potensial energiyasidir:

ifodani belgilab olsak, unda kristalldagi elektron uchun Shredinger tenglamasi yuqoridagi elektron holatini aniqlaydigan tenglamaga mos bo’lib qoladi. Bilamizki, yakkalangan (alohida) atomdagi v_o(r) – potensial energiya giperbola shakliga ega bo’ladi. v(r) – bir xil takrorlanuvchi giperbola shaklida bo’ladi