Qatorlar nazariyasi va elementlari

4. Sonli qatorlarning absolut va shartli yaqinlashishi
O`zgaruvchi ishorali sonli qator

u₁ + u₂ + ... + u_n + ... (5)

berilgan bo`lsin. (5) sonli qator hadlarining absolut qiymatlaridan yangi sonli qator

(6)
tuzamiz.
Agar (6) qator yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda (5) sonli qator absolut yaqinlashuvchi qator deyiladi.
Agar (6) qator uzoqlashuvchi bo`lib, (5) qatorning o`zi yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda (5) sonli qator shartli yaqinlashuvchi qator deyiladi. Absolut yaqinlashuvchi sonli qator hamma vaqt yaqinlashuvchi bo`ladi.
Ushbu
c₁ - c₂ + c₃ - c₄ + ... (-1)^n-1c_n + ... (7)
sonli qatorga ishoralari almashinuvi qator deb ataladi. Bunday qatorlarni tekshirish uchun Leybnis teoremasidan foydalaniladi.
Leybnis teoremasi. Agar ishoralari almashinuvchi (7) qatorning hadlari uchun:

1. 
   c₁ > c₂ > c₃ > ...
   
2. 
   
   

o`rinli bo`lsa, berilgan sonli qator yaqinlashuvchi bo`ladi va uning yig`indisi musbat bo`lib, birinchi haddan katta bo`lmaydi.
Ishorasi almashinuvchi qator qoldigi tengsizlik bilan baholanadi.
Misol. Ushbu

sonli qatorning yaqinlashuvchanligini tekshiring.

Yechish. Leybnis teoremasi shartlarining yuqorida berilgan ishorasi almashinuvchi qator uchun bajarilishini ko`ramiz, ya`ni

va ^.

Demak, qator yaqinlashuvchi bo`lar ekan. Absolut va shartli yaqin-lashuvchi qatorlarning xossalari:
1. Absolut yaqinlashuvchi qatorda o`rinlarini almashtirishdan tuzilgan yangi qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi va yig`indisi berilgan qator yig`indisi bilan bir xil bo`ladi.
2. Shartli yaqinlashuvchi qatorda, b soni ixtiyoriy son bo`lishdan qat`i nazar, hadlar o`rnini shunday almashtirish mumkinki, natijada olin-gan yangi sonli qator yig`indisi b ga teng bo`ladi.
3. Shartli yaqinlashuvchi sonli qatorda hadlar o`rnini shunday almashtirish mumkinki, natijada uzoqlashuvchi yangi qator olinadi.