Прямая и плоскость в пространстве


Уравнение (11) называют векторным параметрическим уравнением плоскости, в котором - радиус-вектор начальной точки плоскости , и - направляющие векторы плоскости, u и v - параметры



Download 447,5 Kb.
bet3/3
Sana23.02.2022
Hajmi447,5 Kb.
#126783
1   2   3
Bog'liq
УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

Уравнение (11) называют векторным параметрическим уравнением плоскости, в котором - радиус-вектор начальной точки плоскости , и - направляющие векторы плоскости, u и v - параметры.




V. Различные виды уравнения плоскости в .
Факт компланарности векторов , и отражается в равенстве нулю их смешанного произведения, тогда можно получить еще одно векторное уравнение плоскости в виде
. (12)
Выберем вектор перпендикулярным плоскости и умножим обе части уравнения (11) на вектор скалярно. Вследствие перпендикулярности векторов и , и их скалярные произведения равны нулю, тогда
. (13)

Уравнение (13) называют нормальным векторным уравнением плоскости, а вектор - нормальным вектором плоскости.


Пусть в выбранной системе координат Oxyz с ортонормированным базисом направляющие векторы плоскости имеют координаты и , а начальная точка имеет координаты , тогда от уравнения (11) можно перейти к параметрическим уравнениям плоскости в координатной форме
. (14)
а от векторного уравнения (12) к уравнению в виде
. (15)
Обозначим координаты нормального вектора плоскости через A, B и C. Тогда скалярное произведение в левой части (13) можно представить в виде

или
, (16)
где .
Уравнение (16) называют общим уравнением плоскости.
Если в (16) свободный член D перенести в правую часть и поделить уравнение почленно на -D , получим уравнение плоскости "в отрезках":

. (17)
где a, b, c - отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.



Уравнение "в отрезках" нельзя составить для плоскостей, параллельных координатным плоскостям или проходящим через начало координат.


VI. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Признаки параллельности.
Рассмотрим взаимное расположение двух прямых на плоскости: они могут либо пересекаться, либо быть параллельными, либо совпадать (см. рис. 6)








Рис. 6
Если прямые параллельны или совпадают, то их направляющие и нормальные векторы коллинеарны, т.е. и .
Если прямые совпадают, то вектор , соединяющий их начальные точки, также коллинеарен направляющим. Когда прямые заданы общими уравнениями и , то в случае их параллельности коэффициенты A и B пропорциональны, т.е.
, (18)
а в случае совпадения этих прямых пропорциональными становятся и коэффициенты C, т.е.
. (18)
В противных случаях прямые пересекаются.
Взаимное расположение плоскостей в пространстве также характеризуется перечисленными выше тремя случаями: плоскости параллельны или совпадают, если их нормальные векторы коллинеарны, т.е.
. (19)
Плоскости совпадают, когда вектор ортогонален вектору или , т.е.
. (19)
Если условие параллельности плоскостей не выполняется, то плоскости пересекаются по прямой линии, направляющий вектор которой можно найти из условия ортогональности его векторам и одновременно, тогда . Начальная точка такой прямой может быть найдена как точка пересечения ее с одной из координатных плоскостей.
Когда плоскости заданы общими уравнениями, условие их параллельности записывается в виде
, (20)
а в случае совпадения плоскостей пропорциональны все коэффициенты общих уравнений:
. (20)
Две прямые линии и в пространстве могут:
1) совпадать, тогда векторы , и коллинеарны, то есть
; (21)
2) быть параллельными, тогда векторы и коллинеарны, а вектор
неколлинеарен с ними, т.е.
; (22)
3) пересекаться, тогда векторы и неколлинеарны, но лежат в одной плоскости с вектором . Условие пересечения прямых можно сформулировать как условие компланарности трех векторов:
; (23)
4) скрещиваться, тогда векторы , и некомпланарны:
. (23)
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве характеризуется следующими тремя случаями:
1) прямая может быть параллельна плоскости, тогда ее направляющий вектор перпендикулярен нормальному вектору плоскости или компланарен направляющим векторам плоскости, т.е. ;
2) прямая может лежать в плоскости, тогда к условию 1) добавляется требование, чтобы начальная точка прямой принадлежала плоскости;
3) прямая линия пересекает плоскость, если условие не выполняется.


VII. Основные задачи о прямых и плоскостях (углы между прямыми
и плоскостями, расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости).
Среди основных задач о прямых и плоскостях рассмотрим следующие:
1) Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть прямая проходит через точки и . Необходимо записать ее канонические уравнения. В качестве начальной точки можно принять одну из точек или , в качестве направляющего вектора - вектор с координатами .
Тогда в соответствии с (10) уравнения прямой имеют вид:
. (24)

2) Уравнение плоскости, проходящей через три точки , , . За начальную точку прямой примем точку , а за направляющие векторы , . Тогда уравнение плоскости в форме (16) примет вид:


. (25)

3) Расстояние от точки до прямой на плоскости.


Пусть дана точка с радиус-вектором и прямая . Найти расстояние от точки до заданной прямой.
Обозначим через проекцию точки
на прямую. Вектор по построению коллинеарен нормальному вектору прямой, направлен в противоположную сторону и имеет длину, равную расстоянию от точки до прямой. Он может быть рассмотрен и как проекция вектора на направление нормали, тогда
.



Если прямая задана общим уравнением , то ее нормальный вектор имеет координаты и длину , тогда расстояние от точки до прямой может быть вычислено по формуле
. (26)

Аналогичным образом вычисляется и расстояние от точки до плоскости


. (27)
4) Задачи, связанные с отысканием углов между их направляющими и нормальными векторами.
Download 447,5 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish