Proektiv tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziqlar

Brianshon teoremasi. Tekislikdagi aylanmaydigan kvadrika berilgan bo’lsin.

Endi paskal teoremasiga ikkilik printsipiga ko’ra mos kelgan Brianshon tomonidan isbot qilingan teoremani qaraylik.

Paskal teoremasi uchun chizilgan (70-chizma) olti uchlik (olti tomonlik) ka e’tibor beraylik; qaralgan kvadrikaga urinuvchi to’g’ri chiziqqa almashinadi. Natijada tomonlari kvadrikaga urinadigan olti uchlikka ega bo’lamiz. Bu figuraning ham oltita uchi bor., shuning uchun “olti tomonlik” terminning ishlatmasdan, olti burchak bilan ish ko’raveramiz.

Shunday qilib, kvadrikaga qo’llanilgan duallik printsipi ichki chizilgan olti uchlikni tashqi chizilgan olti uchlikka almashtiradi. Ichki chizilgan olti uchlikning qarama-qarshi tomonlarining kesishgan _{ } nuqtalari (68-chizma) tashqi chizilgan olti uchlikning qarama-qarshi uchlarini birlashtiruvchi _{ } (70-chizma) to’g’ri chiziqlarga akslanadi. Paskal to’g’ri chizig’i esa _{ } to’g’ri chiziqlarning kesishgan nuqtasiga akslanadi.

Teorema. Aynimaydigan kvadrikaga tashqi chizilgan oltiburchakning qara-qarshi uchlarini birlashtiruvchi to’g’ri chiziqlar bir nuqtada kesishadi. (Bu nuqta Brianshon nuqtasi deyiladi).