Proektiv tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziqlar

2. Pakal teoremasi.

Tekislikdagi har uchtasi bir chiziqda yotmaydigan va ma’kum tartibda olingan oltita _{ } nuqta (uchlari) va _{ } to’g’ri chiziqlardan (tomonlari) tuzilgan figura olti uchlik detiladi (67-chizma).

_{ } bilan _{ }, _{ } bilan _{ } , _{ } bilan _{ } to’g’ri chiziqlar olti uchlikning qarama-qarshi tomonlari, _{ } bilan _{ } bilan _{ } , _{ } bilan _{ } uchlar qarama-qarshi uchlar deyiladi.

1-teorema. Kvadrikaga ichki chizilgan olti uchlikning qarama-qarshi tomonlari, uchta nuqtada kesishib, bir to’g’ri chiziqda yotadi (bu to’g’ri chiziq Paskal to’g’ri chiziq deyiladi).

Isbot. Olti uchlikning qarama-qarshi tomonlarining kesishgan nuqtalarini mos ravishda _{ } bilan belgilaylik. Olti uchlik kvadrikaga ichki chizilgan. Shteynerning 2-teoremasiga ko’ra, markazlari _{ } nuqtalarda bo’lgan dastalar proektivdir. _{ } markazlari _{ } to’g’ri chiziq bilan kesib, _{ } nuqtalarni hosil qilamiz (68-chizma). _{ } markazli dastani _{ } to’g’ri chiziq bilan kesib, _{ } nuqtalarni hosil qilamiz. Proektiv almashtirishda: _{ },_{ }, _{ }, _{ } va _{ } to’g’ri chiziq _{ } to’g’ri chiziqqa almashinadi (_{ } ya’ni nuqta o’z-o’ziga o’tadi). Demak, _{ } va _{ } to’g’ri chiziqlar prespektivdir. Perespektiv to’g’ri chiziqlarning mos nuqtalarining birlashtiruvchi _{ }, _{ }, _{ } to’g’ri chiziqlar bitta _{ } nuqtadan o’tadi.

Paskal teoremasidan foydalanib, Pani isbotlagan isbotlagan teoremani keltiramiz.

1-teorema. Ikkita to’g’ri chiziq berilgan bo’lib, birinchi to’g’rti chiziqda _{ },_{ },_{ } nuqtalar, ikkinchi to’g’ri chiziqda _{ } nuqtalar yotsin. U holda _{ } bilan _{ }, _{ } bilan _{ }, _{ } bilan _{ } to’g’ri chiziqlarning kesishgan nuqtasi bir to’g’ri chiziqda yotadi.

Isbot. Kvadrika ikkita to’g’ri chiziqqa ajratilgan bo’lsin. U holda biz aynigan ikkinchi tartibli chiziqqa ichki chizilgan olti uchlik haqida gapirishimiz mumkin. Paskal teoremasiga asosan, qarama-qarshi tomonlarning kesishgan nuqtalari bir to’g’ri chiziqda yotadi (69-chizma).

3.