|
Тензор напряжений Коши[править | править код]
Компоненты напряжения в трех измерениях
Иллюстрация типичных напряжений (стрелки) на различных элементах поверхности на границе частицы (сферы) в однородном материале при однородном (но не изотропном) трехосном напряжении. Нормальные напряжения на главных осях равны +5, +2 и −3 единиц.
Комбинированные напряжения нельзя описать одним вектором. Поэтому даже если материал подвергается одинаковому напряжению во всем объёме тела, напряжение на любой воображаемой поверхности будет зависеть от ориентации этой поверхности нетривиальным образом.
Однако Коши заметил, что вектор напряжения {\displaystyle T} заданный на поверхности всегда будет линейной функцией вектора нормали к поверхности {\displaystyle n,} — вектору единичной длины, перпендикулярному ей. То есть, {\displaystyle T={\boldsymbol {\sigma }}(n),} где функция {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}} удовлетворяет соотношению
{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\alpha u+\beta v)=\alpha {\boldsymbol {\sigma }}(u)+\beta {\boldsymbol {\sigma }}(v)}
для любых векторов {\displaystyle u,\ v} и любых вещественных чисел {\displaystyle \alpha ,\ \beta .} Функция {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }},} теперь называемая тензором напряжений (Коши), полностью описывает напряженное состояние равномерно напряженного тела. (В целом любая линейная связь между двумя физическими векторными величинами называется тензором, что соответствует первоначальному смыслу, который Коши вкладывал в описание «напряжений» в материале.) В тензорном исчислении {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}} классифицируется как тензор второго ранга типа (0,2).
Как и любое линейное отображение между векторами, тензор напряжений можно представить в любой выбранной декартовой системе координат матрицей вещественных чисел 3 × 3. В зависимости от того, пронумерованы ли координаты {\displaystyle x_{1},\ x_{2},\ x_{3}} или использованы {\displaystyle x,\ y,\ z} матрицу можно записать как:
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\quad \quad \quad } или {\displaystyle \quad \quad \quad {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{bmatrix}}}
Вектор напряжения {\displaystyle T={\boldsymbol {\sigma }}(n)} заданный на поверхности с вектором нормали {\displaystyle n} с координатами {\displaystyle n_{1},\ n_{2},\ n_{3}} тогда представим в виде матричного произведения {\displaystyle T=n\cdot {\boldsymbol {\sigma }}} . В результате мы получаем ковариантный (вектор-строка) вектор (сравните с тензором напряжений Коши), то есть
{\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}&T_{2}&T_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{21}&\sigma _{31}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{32}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}
Линейная связь между {\displaystyle T} а также {\displaystyle n} следует из фундаментальных законов сохранения количества движения и статического равновесия сил и, следовательно, является математически точным для любого материала и любой напряженной ситуации. Компоненты тензора напряжений Коши в каждой точке тела удовлетворяют уравнениям равновесия (уравнениям движения Коши при нулевом ускорении). Более того, из принципа сохранения углового момента следует, что тензор напряжений симметричен, то есть {\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21},} {\displaystyle \sigma _{13}=\sigma _{31},} а также {\displaystyle \sigma _{23}=\sigma _{32}.} Следовательно, напряженное состояние среды в любой точке и момент времени может быть задан только шестью независимыми параметрами, а не девятью. Это отражено в записи:
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{xy}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{xz}&\tau _{yz}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}}
где элементы {\displaystyle \sigma _{x},\ \sigma _{y},\ \sigma _{z}} называются ортогональными нормальными напряжениями (относительно выбранной системы координат), а {\displaystyle \tau _{xy},\ \tau _{xz},\ \tau _{yz}} ортогональными касательными напряжениями.
Do'stlaringiz bilan baham: |
