Проблемы Гольдбаха

1.3 Проблемы Гольдбаха
В двух письмах к Эйлеру в 1742 г. Гольдбах высказал предположение, что каждое четное число является суммой двух простых чисел и каждое число, большее 2, есть сумма трех простых. Он включал в простые числа. Современная формулировка гипотез Гольдбаха выглядит так: каждое
четное число, большее 2, есть сумма двух простых, а каждое нечетное число, большее 5, является суммой трех простых.
Харди и ЛиттлЁуд (1923а, Ь) обнаружили, что при условии справедливости расширенной гипотезы Римана их метод может быть с успехом применен к этим проблемам. При этом условии они смогли показать, что каждое достаточно большое нечетное число представляется в виде суммы трех простых чисел и что почти все четные числа суммы двух простых.
В 1937 г. И. М. Виноградов сумел устранить зависимость от расширенной гипотезы Римана, дав тем самым безусловное доказательство утверждений Харди и Литтлвуда. Это направление исследований проблем Гольдбаха изучается в гл. З. Однако природа простых чисел, и в частности проблема их распределения в арифметических прогрессиях, показывает, что дальнейшие уточнения метода (см. [Montgomery, Vaughan, 1975] ) лучше прослеживаются в контексте МУИЛЬТИПЛИкативной теории чисел и поэтому опущены в этой книге.
Многие обобщения методов, изложенных в гл. З, содержатся в монографии Хуа Ло-кена [Нищ 1965].
1.4 Другие проблемы
Последние тридцать лет наблюдается большое распро• странение и разнообразие применений метода Харди и Литтлвуда, и ряд тем в гл. 8, 9, 10, l l выбран для иллюстрации его развития. Описанные здесь применения метода, особенно к общим формам и неравенствам в гл. 9 и ll соответственно, охватывают лишь небольшую часть работ в этих областях и должны рассматриваться как введение к оригинальным статьям, включенным в библиографи