Predikatlar hisobida yechilish

t a ’ r i f . Agar A formula har qanday sohada aynan chin bo‘lsa, u holda A umumqiymatli formula deb ataladi.

ta ’ r i f . Agar A formula ifodasiga kiruvchi va M sohaga oid hamma o‘zgaruvchilarning qiymatlarida A formula yolg‘on qiymat qabul qilsa, u holda A formula M sohada aynan yolg‘on formula deb ataladi.

Keltirilgan ta’riflardan ushbu tasdiqlar kelib chiqadi.

1. 
   Agar A umumqiymatli formula bo‘lsa, u holda u har qanday sohada ham bajariluvchi formula bo‘ladi.
   
2. 
   Agar A formula M sohada aynan chin formula bo‘lsa, u holda u shu sohada bajariluvchi formula bo‘ladi.
   
3. 
   Agar M sohada A aynan yolg‘on formula bo‘lsa, u holda u bu sohada bajarilmaydigan formula bo‘ladi.
   
4. 
   Agar A bajarilmaydigan formula bo‘lsa, u holda u har qanday sohada ham aynan yolg‘on formula bo‘ladi.
   

Demak, predikatlar mantiqi formulalarini ikki sinfga ajratish mumkin: bajariluvchi sinflar va
bajarilmas (bajarilmaydigan) sinflar formulalari.

2. 
   t a ’ r i f . Umumqiymatli formula mantiq qonuni deb ataladi.
   

3. m i s o l .

xyP(x, y)
formula bajariluvchidir. Haqiqatan ham, agar
P(x, y) : « x  y »

predikat
M  E  E
sohada aniqlangan (bu yerda
E  {0,1, 2,..., n,...} ) bo‘lsa, u holda
xyP(x, y)

formula M sohada aynan chin formula bo‘ladi, demak, bu sohada u bajariluvchi formuladir. Ammo,

agar
E₁  {0,1, 2,..., k} uchun « x  y » predikat chekli
M₁  E₁  E₁ sohada aniqlangan bo‘lsa, u holda

xyP(x, y)
formula
M₁ sohada aynan yolg‘on formula bo‘ladi va, demak,
M₁ sohada
xyP(x, y)

formula bajariluvchi emas. Ravshanki, xyP(x, y) umumqiymatli formula bo‘lmaydi. ■

3. m i s o l .

xy[P(x)  P( y)]
formula bajariluvchidir. Haqiqatan ham, agar
P(x) : « x – juft

son» predikat
E  {0,1, 2,..., n,...} uchun
M  E  E
sohada aniqlangan bo‘lsa, u holda bu formula M

sohada aynan chin bo‘ladi, demak, u M sohada bajariluvchi formuladir. Ammo, agar P(x) : « x – juft

son» predikat
E₁  {2, 4, 6,8, ...}
uchun
M₁  E₁  E₁
sohada aniqlangan bo‘lsa, u holda

xy[P(x)  P( y)] ^formula formuladir. ■

M₁ sohada aynan yolg‘on formula bo‘ladi, demak, bu sohada u bajarilmas

3. m i s o l .

x[P(x)  P(x)]
formula ixtiyoriy M sohada aynan chin bo‘ladi. Demak, u

umumqiymatli formula, ya’ni bu formula mantiqiy qonundir. ■

3. 
   m i s o l . x[P(x)  P(x)] formula ixtiyoriy ^M sohada aynan yolg‘on va shuning uchun ham u bajarilmas formuladir.
   

11. 
    Umumqiymatli va bajaruvchi formulalar haqida teoremalar.
    

T e o r e m a 1 . A umumqiymatli formula bo‘lishi uchun uning inkori A bajariluvchi formula bo‘lmasligi zarur va yetarlidir.
I s b o t i . Z a r u r l i g i . A umumqiymatli formula bo‘lsin. U holda, ravshanki, A istalgan sohada aynan yolg‘on formula bo‘ladi va shuning uchun ham u bajarilmas formuladir.
Y e t a r l i l i g i . A istalgan sohada bajariluvchi formula bo‘lmasin. U holda bajarilmas formulaning ta’rifiga asosan A istalgan sohada aynan yolg‘on formuladir. Demak, A istalgan sohada aynan chin formula bo‘ladi va u umumqiymatlidir. ■
Te o r e m a 2 . A bajariluvchi formula bo‘lishi uchun A ning umumqiymatli formula bo‘lmasligi zarur va yetarlidir.
I s b o t i . Z a r u r l i g i . A bajariluvchi formula bo‘lsin. U holda shunday M soha va A formula tarkibiga kiruvchi o‘zgaruvchilarning shunday qiymatlar majmui (satri) mavjudki, A formula bu qiymatlar satrida chin qiymat qabul qiladi. Ravshanki, o‘zgaruvchilarning bu qiymatlar satrida A formula yolg‘on qiymat qabul qiladi va, demak, A umumqiymatli formula bo‘la olmaydi.

Y e t a r l i l i g i . A umumqiymatli formula bo‘lmasin. U holda shunday M soha va A formula tarkibiga kiruvchi o‘zgaruvchilarning shunday qiymatlar satri mavjudki, A formula bu qiymatlar satrida yolg‘on qiymat qabul qiladi. Bu qiymatlar satrida A formula chin qiymat qabul qilganligi uchun u bajariluvchi formula bo‘ladi. ■

3. m i s o l .

A  x(P(x)  Q(x))  xP(x) xQ(x)
formulaning umumqiymatliligini

isbotlaymiz. A formula istalgan M sohada aniqlangan deb hisoblab, quyidagi teng kuchli almashtirishlarni bajaramiz:


A  x(P(x)  Q(x))  xP(x) xQ(x) 

 x(P(x)  Q(x))  xP(x)  xQ(x) 

 x(P(x)  Q(x))  xP(x)  xQ(x) 

 x(P(x)  Q(x))  xP(x)  xQ(x) 

 x(P(x)  Q(x))  xQ(x)  xP(x) 

 x(P(x)  Q(x)  Q(x))  xP(x) 

 x(P(x)  Q(x))  xP(x) 

 (xP(x)  xP(x))  xQ(x) 1 xQ(x) 1,

ya’ni A formula istalgan sohada har qanday demak, u umumqiymatli formuladir. ■
P(x)
va Q( x)
bir joyli predikatlar uchun aynan chin,

3. 
   m i s o l .
   

A  x[(F(x)  F(x))  (F(x)  F(x))] ^{formulaning aynan yolg‘on formula}

ekanligini ko‘rsatamiz. (F(x)  F(x)) (F(x)  F(x))  F(x)  F(x) o‘rinli va

F(x)  F(x) ^{formula aynan yolg‘on formula bo‘lgani uchun}
aynan yolg‘on formuladir.

12. 
    Quyidagi formulalarni teng kuchliligini isbotlang:
    

A  x(F(x)  F(x)) ^ham

13. 
    Quyidagi formulalarni teng kuchliligini isbotlang:
    

14. 
    Quyidagi formulalarni teng kuchliligini isbotlang:
    

15. 
    Quyidagi formulalarni teng kuchliligini isbotlang:
    

16. 
    Quyidagi formulalarni teng kuchliligini isbotlang:
    

17. 
    Quyidagi formulalarni teng kuchliligini isbotlang:
    

18. 
    Quyidagi formulalarni teng kuchliligini isbotlang:
    

19. 
    Quyidagi formulalarni teng kuchliligini isbotlang:
    

20. 
    Matematik mulohazalarni predikatlar mantiqi formulasi ko‘rinishida yozish.
    

Quyida asosiy matematik tushunchalar – ta’rif va teoremalarni predikatlar mantiqi tili vositasi bilan ifodalashni o‘rganamiz.
Matematikaga oid har qanday fan sohasi shu fanda qaralayotgan obyektlar haqidagi mulohazalar bilan ish ko‘radi. Mulohazalar mantiq va to‘plamlar nazariyasining simvollari hamda berilgan fanning maxsus simvollari yordamida predikatlar mantiqining formulasi ko‘rinishida ifodalanishi mumkin. Predikatlar mantiqining tili matematik tushunchalar o‘rtasidagi munosabatni ifodalashga, ta’rif, teorema va isbotlarni yozishga imkoniyat yaratadi. Bu yozishlarni misollarda ko‘raylik.
Sonlar ketma-ketligi limitining ta’rifi. Sonlar ketma-ketligi limitining ta’rifini quyidagicha yozish mumkin:


a  lima_n    0n₀n  N (n  n₀ | a_n  a |  ) ,
n

bu yerda
A ( ,
n, n₀ ) : (n  n₀ | a_n  a |  )
– uch joyli predikat.

Funksiyaning nuqtadagi limiti ta’rifi. Bu ta’rifni ushbu shaklda yozish mumkin:
b  lim f (x)    0  0x  Ε(0 | x  x₀ |  | f (x)  b |  ) ,
xx₀

bu yerda
B ( , , x) : (0 
x  x₀
  
f (x)  b   ) – uch joyli predikat.

Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi ta’rifi. E to‘plamda aniqlangan
x₀  E da
  0  0x (| x  x₀ |  | f (x)  f (x₀ ) |  )
f (x)
funksiya uchun

bo‘lsa
f (x)
funksiya
x₀  E
nuqtada uzluksiz deb ataladi, bu yerda
P ( , , x)
– uch joyli predikat.