Predikatlar hisobida yechilish

Funksiyaning nuqtadagi limiti ta’rifi. Bu ta’rifni ushbu shaklda yozish mumkin:
b  lim f (x)    0  0x  Ε(0 | x  x₀ |  | f (x)  b |  ) ,
xx₀

bu yerda
B ( , , x) : (0 
x  x₀
  
f (x)  b   ) – uch joyli predikat.

36. 
    Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi ta’rifini predikat formulasi ko’rinishida ifodalash. Matematik mulohazalarni predikatlar mantiqi formulasi ko‘rinishida yozish. Quyida asosiy matematik tushunchalar – ta’rif va teoremalarni predikatlar mantiqi tili vositasi bilan ifodalashni o‘rganamiz.
    

Matematikaga oid har qanday fan sohasi shu fanda qaralayotgan obyektlar haqidagi mulohazalar bilan ish ko‘radi. Mulohazalar mantiq va to‘plamlar nazariyasining simvollari hamda berilgan fanning maxsus simvollari yordamida predikatlar mantiqining formulasi ko‘rinishida ifodalanishi mumkin. Predikatlar mantiqining tili matematik tushunchalar o‘rtasidagi munosabatni ifodalashga, ta’rif, teorema va isbotlarni yozishga imkoniyat yaratadi. Bu yozishlarni misollarda ko‘raylik.

Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi ta’rifi. E to‘plamda aniqlangan
x₀  E da
  0  0x (| x  x₀ |  | f (x)  f (x₀ ) |  )
f (x)
funksiya uchun

bo‘lsa
f (x)
funksiya
x₀  E
nuqtada uzluksiz deb ataladi, bu yerda
P ( , , x)
– uch joyli

predikat.

37. 
    O‘suvchi funksiyaning ta’rifini predikat formulasi ko’rinishida ifodalash
    

Matematik mulohazalarni predikatlar mantiqi formulasi ko‘rinishida yozish. Quyida asosiy matematik tushunchalar – ta’rif va teoremalarni predikatlar mantiqi tili vositasi bilan ifodalashni o‘rganamiz.
Matematikaga oid har qanday fan sohasi shu fanda qaralayotgan obyektlar haqidagi mulohazalar bilan ish ko‘radi. Mulohazalar mantiq va to‘plamlar nazariyasining simvollari hamda berilgan fanning maxsus simvollari yordamida predikatlar mantiqining formulasi ko‘rinishida ifodalanishi mumkin. Predikatlar mantiqining tili matematik tushunchalar o‘rtasidagi munosabatni ifodalashga, ta’rif, teorema va isbotlarni yozishga imkoniyat yaratadi. Bu yozishlarni misollarda ko‘raylik.

O‘suvchi funksiyaning ta’rifi. ^E to‘plamda aniqlangan
x₁  Ε x₂  Ε(x₁  x₂  f (x₁)  f (x₂ ))
^{f (x)} funksiya uchun

bo‘lsa
^{f (x)} funksiya ^E to‘plamda o‘suvchi funksiya bo‘ladi, bu yerda ^{Q(x1 , x2 )} :

(x₁  x₂  f (x₁ ) 
^{f (x2 ))} – ikki joyli predikat.

38. 
    Chegaralangan funksiyaning ta’rifini predikat formulasi ko’rinishida ifodalash
    

Matematik mulohazalarni predikatlar mantiqi formulasi ko‘rinishida yozish. Quyida asosiy matematik tushunchalar – ta’rif va teoremalarni predikatlar mantiqi tili vositasi bilan ifodalashni o‘rganamiz.
Matematikaga oid har qanday fan sohasi shu fanda qaralayotgan obyektlar haqidagi mulohazalar bilan ish ko‘radi. Mulohazalar mantiq va to‘plamlar nazariyasining simvollari hamda berilgan fanning maxsus simvollari yordamida predikatlar mantiqining formulasi ko‘rinishida ifodalanishi mumkin. Predikatlar mantiqining tili matematik tushunchalar

o‘rtasidagi munosabatni ifodalashga, ta’rif, teorema va isbotlarni yozishga imkoniyat yaratadi. Bu yozishlarni misollarda ko‘raylik.

Chegaralangan funksiyaning ta’rifi. Aniqlanish sohasi E bo‘lgan
M  R_x  E (| f (x) | M )
f (x)
funksiya uchun

bo‘lsa, u holda
f (x)
funksiya E sohada chegaralangan deb ataladi, bu yerda
F (x, M ) :

(| f (x) | M ) – ikki joyli predikat.

39. 
    Juft funksiya ta’rifini predikat formulasi ko’rinishida ifodalash.
    
40. 
    Toq funksiya ta’rifini predikat formulasi ko’rinishida ifodalash.
    
41. 
    Konyunksiyaga nisbatan distributivlikni predikatlar uchun bajarilishi.
    

42. 
    Dizyunksiyaga nisbatan distributivlikni predikatlar uchun bajarilishi.
    

43. 
    x  x  0 qarama-qarshilik qonunini predikatlar uchun bajarilishi.
    

44. 
    x  x 1 uchinchisini istisno qonunini predikatlar uchun bajarilishi
    

45. 
    

^{x  x  x} , ^{x  x  x}
idempotentlik qonunini predikatlar uchun bajarilishi.

46. 
    x  xy  x yutilish qonunini predikatlar uchun bajarilishi.
    
47. 
    Konyunksiyaga nisbatan distributivlikni kvantorlar uchun bajarilishi.
    

48. 
    Dizyunksiyaga nisbatan distributivlikni kvantorlar uchun bajarilishi.
    

49. 
    x  x  0 qarama-qarshilik qonunini kvantorlar uchun bajarilishi.
    

50. 
    x  x 1 uchinchisini istisno qonunini kvantorlar uchun bajarilishi
    

51. 
    

^{x  x  x} , ^{x  x  x}
idempotentlik qonunini kvantorlar uchun bajarilishi.

52. 
    x  xy  x yutilish qonunini kvantorlar uchun bajarilishi.
    

53. 
    Kommutativlik qoninini kvantorlar uchun bajarilishi.
    

^{– kommutativlik qonunlari: x  y  y  x ,} x  y  y  x ^;

54. 
    

keltiring?
(xP(x)  yQ( y))  R(z)
formulani deyarli normal shaklga

55. 
    Kvantorlar va ularning xossalari.
    

M to‘plamda aniqlangan Ρ(x) predikat berilgan bo‘lsin. Agar a  M ni Ρ(x) predikatning ^x

argumenti o‘rniga qo‘ysak, u holda bu predikat
Ρ(a)
mulohazaga aylanadi.

Predikatlar mantiqida yuqorida ko‘rilganlardan tashqari yana ikkita amal mavjudki, ular bir joyli predikatni mulohazaga aylantiradi.

1. 
   Umumiylik kvantori. M to‘plamda aniqlangan
   

Ρ(x)
predikat berilgan bo‘lsin. Har

qanday
x  M
uchun
Ρ(x)
chin va aks holda yolg‘on qiymat qabul qiluvchi mulohaza ifodasini

xΡ(x) shaklda yozamiz. Bu mulohaza endi ^x ga bog‘liq bo‘lmay qoladi va u quyidagicha o‘qiladi:

«har qanday x uchun
Ρ(x)
chin».  simvol umumiylik kvantori deb ataladi. Aytilgan fikrlarni

matematik ifodalar vositasida quyidagicha yozish mumkin:


_{xΡ(x) } ^{1, barcha x  M uchun P(x)  1 bo'lganda,}
_0, aks holda.

Ρ(x)
predikatda x ni erkin (ozod) o‘zgaruvchi va
xΡ(x)
mulohazada x ni umumiylik

kvantori  bilan bog‘langan o‘zgaruvchi deb ataladi.

2. Mavjudlik kvantori.

Ρ(x)
predikat M to‘plamda aniqlangan bo‘lsin. Hech bo‘lmaganda

bitta
x  M
uchun
Ρ(x)
predikat chin va aks holda yolg‘on qiymat qabul qiluvchi mulohaza ifodasini

xP(x) shaklda yozamiz. Bu mulohaza x ga bog‘liq emas va uni quyidagicha o‘qish mumkin:
«shunday x mavjudki, Ρ(x)  1», ya’ni


_{xP(x) } ^{1, birorta x  M uchun P(x)  1 bo'lganda,}
_0, aks holda.
 simvol mavjudlik kvantori deb ataladi. bilan bog‘langan bo‘ladi.

xP(x)

mulohazada ^x o‘zgaruvchi  kvantori

1. 
   m i s o l . N natural sonlar to‘plamida
   

Ρ(x)
predikat berilgan bo‘lsin: « ^x – tub son».

Kvantorlardan foydalanib ushbu predikatdan quyidagi mulohazalarni hosil qilish mumkin: xP(x) –

«Hamma natural sonlar tub sonlar bo‘ladi»;
xP(x)

• 
  «Shunday natural son mavjudki, u tub son
  

bo‘ladi». Ravshanki, birinchi mulohaza yolg‘on va ikkinchi mulohaza chindir. ■

Ma’lumki, xP(x) mulohaza faqat
Ρ(x)
aynan chin predikat bo‘lgandagina chin qiymat qabul

qiladi. qiladi.
xP(x)
mulohaza bo‘lsa,
Ρ(x)
aynan yolg‘on predikat bo‘lgandagina yolg‘on qiymat qabul

Kvantorli amallar ko‘p joyli predikatlarga ham qo‘llaniladi. Masalan, M to‘plamda ikki joyli

P(x, y)
predikat berilgan bo‘lsin. Agar
P(x, y)
predikatga ^x o‘zgaruvchi bo‘yicha kvantorli

amallarni qo‘llasak, u holda ikki joyli
xP(x, y) ) predikatni mos qilib qo‘yadi.
P(x, y)
predikatga bir joyli
xP(x, y)
(yoki bir joyli

Bir joyli
xP(x, y)
( xP(x, y) ) predikat faqat y o‘zgaruvchiga bog‘liq, ^x o‘zgaruvchiga esa

bog‘liq emas. Ularga y bo‘yicha kvantorli amallarni qo‘llaganimizda quyidagi mulohazalarga ega bo‘lamiz:
yxP(x, y) , yxP(x, y) , yxP(x, y) , yxP(x, y) .

2.