«Predikatlar algebrasining simvollari, tili. Predikatlar mantig’ida formula tushunchasi.»

3. Predikatlar ustida mantiqiy amallar
Predikatlar mantiqiy an’anaviy formal mantiq singari elementar mulohazani sub’ekt va predikat qismlarga bo‘ladi.

Sub’ekt – bu mulohazada biror narsa haqida nimadir tasdiqlaydi; predikat – bu sub’ektni tasdiqlash. Masalan, “5-tub son” malohazasida “5” – sub’ekt, “tub son” – predikat. Bu mulohaza “5” “tub son bo‘lish” hususiyatga ega ekanligi tasdiqlanadi.

Agar keltirilgan mulohazada ma’lum 5 sonini natural sonlar to‘plamidagi x o‘zgaruvchi bilan almashtirsak, u holda “x – tub son” ko‘rinishidagi mulohaza formasiga (shakliga) ega bo‘lamiz. x o‘zgaruvchining bir hil qiymatlari (masalan, x=13, x=3, x=19) uchun bu forma chin mulohazalar va x o‘zgaruvchining boshqa qiymatlari (masalan, x=10, x=20) uchun bu forma yolg‘on mulohazalar beradi.

Ayniqki, bu forma bir x argumentli funksiyani aniqlaydi. Bu funksiyaning aniqlanish sohasi natural sonlar to‘rlami N va qiymatlar sohasi {1,0} to‘plam bo‘ladi.

1-ta’rif. M to‘plamda aniqlangan va {1,0} to‘plamdan qiymat qabul qiluvchi bir argumentli R(x) funksiya bir joyli (bir o‘rinli) predikat deb ataladi.

M to‘plamni R(x) predikatning aniqlanish sohasi deb aytamiz.

R(x) predikat chin qiymat qabul qiluvchi hamma xM elementlar to‘plami R(x) predikatning chinlik to‘plami deb ataladi, ya’ni R(x) predikatning chinlik to‘plami to‘plamdir.

Masalan, “x – tub son” – R(x) predikati N natural sonlar to‘plamida aniqlangan va uning I_p chinlik to‘plami hamma tub sonlar to‘plamidan iborat predikat R haqiqiy sonlar to‘plamida aniqlangan va uning chinlik to‘plami . “Parallelogramm diagonallari x bir-biriga perpendikulyardir” – F(x) predikatning aniqlanish sohasi hamma parallelogrammlar to‘plami va chinlik to‘plami hamma romblar to‘plami bo‘ladi.

Bir joyli predikatlarga yuqorida keltirilgan misollar predmetlarning xususiyatlarini ifodalaydi.

2-ta’rif. Agar M to‘plamda aniqlangan R(x) predikat uchun bo‘lsa, u aynan chin (aynan yolg‘on) deb ataladi.

Endi ko‘p joyli predikat tushunchasini aniqlaymiz. Ko‘p joyli predikat predmetlar orasidagi munosabatni aniqlaydi.

“Kichik” munosabati ikki predmet orasidagi binar munosabatni ifodalaydi. “x” (bu erda x,yz) binar munosabati ikki argumentli P(x,y) funksiyani ifodalaydi. Bu funksiya ZZ to‘plamda aniqlangan va qiymatlar sohasi {1,0} to‘plam bo‘ladi.

3-ta’rif. M=M₁ M₂ to‘plamda aniqlangan va {1,0} to‘plamdan qiymat oluvchi ikki argumentli P(x,y) funksiyaga ikki joyli predikat deb ataladi.

Masalan, ikki joyli predikat to‘plamda aniqlangan; - x to‘g‘ri chiziq u to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar ikki joyli predikat bir tekislikda yotuvchi to‘g‘ri chiziqlar to‘plamida aniqlanadi.

1-misol. Quyidagi berilgan mulohazalarning qaysi bir predikat bo‘lishini va ularning chinlik to‘plamini aniqlang. Bir joyli predikatlarning aniqlanish sohasi va ikki joyli predikatlar uchun aniqlanish sohasi bo‘lsin:

1) 2)

3) 4)

5)

Echim. 1) Bu berilgan ifoda bir joyli predikat A(x) bo‘ladi va ;

2) ifoda bilan berilgan mulohaza bir joyli predikat A(x) bo‘ladi va ;

3) ifoda bilan berilgan mulohaza bir joyli predikat A(x) bo‘ladi va ;

4) ifoda bilan berilgan mulohaza predikat bo‘maydi;

5) berilgan ifoda ikki joyli predikat bo‘ladi va .

2-misol. Quyidagi predikatlarning qaysi biri aynan chin bo‘lishini aniqlang:

1) 2)

3) 4)

5)

Echim. Ravshanki, 1,3 va 4-predikatlar aynan chin bo‘ladi. 2- predikatda qiymatlarida tengsizlik buziladi, 5-predikatda bo‘lsa, x ning hamma musbat qiymatlarida tengsizlik ishorasi buziladi. Demak, 2 va 5-predikatlar aynan chin predikatlar bo‘la olmaydi.

3-misol. to‘plamda va predikatlar berilgan bo‘lsin. predikatning chinlik to‘plamini toping va uni Eyler doiralari orqali ifodalang.

Echim.

bo‘lgani uchun.

.

chinlik to‘plami 1-shaklda shtrixlangan soha sifatida ko‘rsatilgan.

I_A I_B

1-shakl
Predikatlar ham mulohazalar singari faqatgina chin va yolg‘on (1,0) qiymatlar qabul qilganliklar tufayli ular ustida mulohazalar matiqidagi hamma mantiqiy amallarni bajarish mumkin.

Bir joyli predikatlar misolida mulohazlar mantiqidagi mantiqiy amallarning predikatlarga tatbiq etilishini ko‘raylik.

M to‘plamda R(x) va Q(x) predikatlar aniqlangan bo‘lsin.

4-ta’rif. Berilgan M to‘plamda aniqlangan R(x) va Q(x) predikatlarning konyunksiyasi deb, faqat va faqat xM qiymatlarda aniqlangan hamda R(x) va Q(x) lar bir vaqtda chin qiymat qabul qilib, qolgan barcha hollarda yolg‘on qiymat qabul qiluvchi yangi predikatga aytiladi va u P(x)Q(x) kabi belgilanadi.

P(x)Q(x) predikatning chinlik sohasi I_pI_Q to‘plamdan, ya’ni R(x) va Q(x) predikatlarning umumiy qismidan iborat bo‘ladi.

Masalan, “x – juft son” va Q(x): “x – toq son” predikatlar uchun “x – juft son va x – toq son”: predikatlar konyunksiyasi mos qiladi va uning chinlik sohasi  bo‘sh to‘plamdan iborat bo‘ladi.

5-ta’rif. Berilgan M to‘plamda aniqlangan P(x) va Q(x) predikatlarning dizyunksiyasi deb, faqat va faqatgina qiymatlarda aniqlangan hamda P(x) va Q(x) predikatlar yolg‘on qiymat qabul qilganda yolg‘on qiymat qabul qilib, qolgan barcha hollarda chin qiymatlar qabul qiluvchi yangi predikat aytiladi va u kabi belgilanadi.

predikatning chinlik sohasi to‘plamdan iborat bo‘ladi.

6-ta’rif. Agar hamma qiymatlarda P(x) predikat chin qiymat qabul qilganda yolg‘on qiymat va x M ning barcha qiymatlarida P(x) predikat yolg‘on qiymat qabul qilganda chin qiymat qabul qiluvchi predikat P(x) predikatning inkori deb ataladi va u kabi belgilanadi.

Bu ta’rifdan kelib chiqadi.

7-ta’rif. Faqat va faqatgina lar uchun bir vaqtda P(x) chin qiymat va Q(x) yolg‘on qiymat qabul qilganda yolg‘on qiymat qabul qilib, qolgan hamma hollarda chin qiymat qabul qiladigan predikat P(x) va Q(x) predikatlarning implikatsiyasi deb ataladi.

Har bir tayinlangan uchun

teng kuchlilik to‘g‘ri bulganligidan o‘rinlidir.