«Predikatlar algebrasining simvollari, tili. Predikatlar mantig’ida formula tushunchasi.»

1-ta’rif.Tarkibida erkli o`zgaruvchilar qatnashib, bu o`zgaruvchilarning qabul qilishi mumkin bo`lgan qiymatlarida mulohazaga aylanadigan darak gapga predikat deyiladi.

ob’ektning biror xossaga ega bo`lishi ( ) kabi belgilanib, ( ) bir o`rinli predikat deb yuritiladi.

2-ta’rif. O‘zgaruvchi mulohazalar bog‘liq bo‘lgan mantiqiy funksiyani predikat yoki mantiqiy funksiya deb yuritiladi va uni A(x), B(x),… kabi belgilanadi.

Bitta o‘zgaruvchiga bog‘liq predikatlarni unar predikat, ikkita o‘zgaruvchiga bog‘liq predikatlarni binar predikat, uchta o‘zgaruvchiga bog‘liq predikatlarni ternar predikat va x.k., n ta o‘zgaruvchiga bog‘liq predikatlarni n-ar yoki n - o‘rinli predikat deb yuritiladi va A₁(x), A₂(x,y), A₃(x,y,z),…,A_n(x₁,x₂,…,x_n) kabi belgilanadi.

Yuqoridagi misollarda 1-chisi binar, 2-chisi unar, 3-chisi binar va 4-chisi ternar predikatlar.

Aytaylik M - bo‘sh bo‘lmagan to‘plam va xM bo‘lsin. Ana shu M to‘plamda aniqlangan A(x) predikatga aniq qiymatlar berish bilan A(x)=1 yoki A(x)=0 deb yoza olamiz.

A(x) predikatni M to‘plamdagi rost qiymatlarni qabul qiladigan qismiga A(x) predikatning rostlik to‘plami deb yuritiladi va uni T bilan belgilanadi va T  M.

Masalan. N={1,2,…,n,…}

A(x)={x - tub son}

T = {2,3,5,…} N

Predikatlarning rostlik qiymatlarini quyidagi jadval usulida bersa ham bo‘ladi:

A(x)= {x:5, xN}

A(x)	YO	YO	YO	YO	R	YO	…
X	1	2	3	4	5	6	…

M i s o l l a r. 1. ( ): « -tub son» ko`rinishidagi predikat berilgan bo`lsin. Bu holda ( ) bir o`zgaruvchili funksiyani ifodalab, uning aniqlanish soxasi natural sonlar to`plami dan, qiymatlari sohasi mulohazalar to`plamidan iborat bo`lib, har bir mulohazaning qiymatlari sohasi esa ikki elementli {0,1} to`plamdan iborat. Bu funksiya qabul qiladigan qiymatlar quyidagi jadvalda berilgan:

		1		2		3		4		5		6		7		8
( )		0		1		1		0		1		0		1		0

2. « - juft son» predikati berilgan bo`lsin. kesmadan qiymatlar qabul qilganda funksiya qabul qiladigan qiymatlar quyidagi jadvalda berilgan:

		1		2		3		4	5	6		7
		0		1		0		1	0	1		0

Yuqoridagi misollardan ushbu fikrlarni ayta olamiz.

1. Predikatlar mulohaza emas, lekin ning biror to`plamga tegishli aniq qiymatlarida u mulohazaga aylanadi.

2. Agar qandaydir ob’ektlar to`plami bo`lsa bu to`plamdagi predikat - xossa deganda biz shu to`plamda rost yoki yolg`on qiymatni qabul qiluvchi bir argumentli funksiyani tushunamiz.

3. Biror to`plamda berilgan predikat bu to`plamda aynan rost, aynan yolg`on yoki bajariluvchi bo`lishi mumkin.

M i s o l l a r.

1. : « - musbat» - predikat to`plamda aynan rost bo`ladi.

2. : « < 0» - predikat to`plamda aynan yolg`on.

3. : « - juft son» - predikat to`plamda bajariluvchi.

Predikatlar ikki, uch,..., o`rinli ham bo`lishi mumkin. Masalan : « < »-predikat to`plamda ikki o`rinli bo`lsa, predikat qandaydir to`plamda o`rinlidir.
2. Predikatlar va ular ustida amallar hamda ularni to‘plamlar orqali ifodalash.

Mulohazalar algebrasining asosiy masalalaridan biri sodda mulohazalarning rostlik (chinlik) qiymatlariga tayangan holda, ulardan tuzilgan murakkab mulohazalar-ni chinlik qiymatlarini topishdan iboratdir. Lekin mulohazalar algebrasi fan va amali-yotdagi murakkab mantiqiy xulosalarni chiqarish uchun yetarli emasdir. Murakkab mantiqiy xulosalarni chiqarishda mulohazalar algebrasini o’z ichiga olgan predikatlar algebrasi muhim o’rin egallaydi.

Ta’rif:O’zgaruvchi qatnashgan va o’zgaruvchini o’rniga qiymat qo’yganimizda chin yoki yolg’on bo’ladigan mulohazalar predikat deyiladi.

Masalan: “U shahar- O’zbekiston Respublikasini poytaxti”

1. 
   “X talaba-Andijon davlat universiteti Boshlang’ich ta’lim va sport tarbiyaviy ishlar bo’yicha 101-guruhi sardori”
   
2. 
   “G’ sudralib Yuruvchi-sut emizuvchi”
   
3. 
   “K- butun son”
   
4. 
   “R to’plamida A tenglama- yechimga ega”
   

Predikat tartibiga kirgan o’zgaruvchi bitta, ikkita va xokozo n ta bo’lishiga qarab mos holda bir o’rinli, ikki o’rinli va xokozo n o’rinli bo’lishi mumkin.

Biz ko’proq bir o’rinli predikatlar bilan ishlaymiz.

Bir o’rinli predikatlar A (x), V(x)ko’rinishda belgilanadi.

Predikatlar tarkibiga kirgan o’zgaruvchini qabul qilishi mumkin bo’lgan barcha qiymatlari to’plami predikatning aniqlash sohasi deyiladi va X, U, G’ kabi belgilanadi. A(x), V(x) predikatlarning aniqlanish sohalari mos holda X_A,X_V ko’rinishda belgilanadi

Agar bizga P(x) predikat berilgan bo’lsa, x ning ba’zi qiymatlari uchun chin mulohazaga aylantirsa, bu qiymatlar predikatning chinlik to’plami deyiladi va T_p kabi belgilanadi.

Demak P (x) predikatning aniqlash sohasi X_p chinlik to’plami T_p bo’lsa, xεXT_ACX bo’ladi. Bu holatni chizma orqali quyidagicha ifodalash mumkin.

Misol:

1)A (x): “x²-4=0”, xR, bunda: A(x) ning aniqlanish sohasi X=R

A(x)ning chinlik to’plami T_A=-2;2bo’ladi

2)A(x): “x²-10”  xR bo’lsa, bunda: A(x) ning chinlik to’plami

T_A=x1x-;11;  A(x) ning aniqlash sohasi X=R bo’ladi

3) B(x) “6x15xN bo’lsa,bunda X=N va T_V=7;8;9;10;11;12bo’ladi

Aytaylik, biror X to‘plamda A(x) va V(x) - bir o‘rinli predikatlar berilgan bo‘lsin. Bu predikatlarning rostlik to‘plamlarini mos ravishda T₁ va T₂ deylik. SHu berilgan predikatlar ustida propozitsional amallarni bajarilishini o‘rganaylik.

1. 
   A(x). Bu predikat A(x) predikat yolg‘on qiymatlarni qabul qilsa, rost qiymati qabul qiladi, uning rostlik to‘plami - bu T₂ ning to‘ldirmasidir Eyler-Venn diagramasida ko‘rinish quyidagicha,
   

Misol. X={1,2,3,…,10} A(x)={x>6, x X},

2. 
   A(x) V(x). Bu predikat rost bo‘lishi uchun, ikkala predikat bir vaqtning o‘zida rost qiymatlarni qabul qilishi kerak. uning rostlik to‘plami
   

T=T₁  T₂ bo‘ladi T₁ va T₂ ning kesishmasi.

T₁  T₂

T₁ T₂

Misol. X={1,2,…10}

A(x)={x<7}

B(x)={x – tub son}
U holda (A(x) V(x))={x<7 va u tub sondir}

T₁ = {1,2,3,4,5,6}, T₂={2,3,5,7}

T= T₁  T₂ = {2,3,5}

3. 
   A(x) V(x) . Bu predikat rost bo‘lsin uchun, hech bo‘lmaganda bitta predikat rost qiymatni qabul qilishi kerak, uning rostlik to‘plami.
   

T=T₁  T₂
T₁ va T₂ ning yig‘indisi.

Misol. Yuqoridagi misolni olsak,
T=T₁  T₂ = {1,2,3,4,5,6}
,, amallari yordamida har xil predikatlarni tuzish mumkin:

va x.k.

4. 
   A(x)V(x). Bu predikat A(x) rost bo‘lib V(x) predikat yolg‘on qiymatlarni qabul qilganda yolg‘on va qolgan qiymatlarda rost bo‘ladi.
   

[A(x)B(x)] A(x) B(x)
bo‘lgani uchun, uning rostlik to‘plami

Misol. X={1,2,3,…,10,11,12}

A(x)= {x 6, xX}

B(x)={x- juft sonlar}
{A(x)B(x)}={Agar x - son 6 ga bo‘linsa, u son juftdir}

T₁ = {6;12}

T₂ ={2,4,6,8,10,12}



={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} = X
Demak, A(x)V(x) predikat ayniy rost (AR) bo‘lishi uchun faqat va faqat

T₁  T₂

bo‘lishi shart.
Agar A(x) V(x) AR bo‘lsa, u holda V(x) predikat A(x) predikatdan mantiqan kelib chiqadi, deb tushuniladi.

5. 
   A(x)V(x). Bu predikat rost bo‘lsin uchun, ikkalasi ham birxil ma’noli bo‘lishi kerak, qolgan xollarda yolg‘on bo‘ladi.
   

{A(x)B(x)  [A(x) B(x)]  [B(x)A(x)}

bo‘lgani uchun, uning rostlik to‘plami

bo‘ladi.

Mantiq algebrasida mulohazalar faqat chin yoki yolg‘on qiymat olishi nuqtai nazaridan qaraladi. Mulohazalarning na strukturasi va hatto na mazmuni qaralmaydi. Ammo fanda va amaliyotda mulohazalarning strukturasi va mazmunidan kelib chiqadigan xulosalardan foydalaniladi. Masalan, “Har qanday romb parallelogramdir, ABCD­ – romb, demak,ABCD - parallelogramm”.

Asosi va xulosa mulohazalar mantiqining elementar mulohazalari bo‘ladi va ularni bu mantiq nuqtai nazaridan bo‘linmas, bir butun deb va ularning uchki strukturasini hisobga olmasdan qaraladi. SHunday qilib, mantiq algebrasi mantiqning muhim qismi bo‘lishiga qaramasdan, ko‘pgina fikrlarni tahlil qilishga qodir emas. SHuning uchun ham mulohazalar mantiqini kengaytirish masalasi vujudga keladi, ya’ni elementar mulohazalarning ichki strukturasini ham tadqiq eta oladigan mantiqiy sistemani yaratish muommasi paydo bo‘ldi. Bunday sistema mulohazalar mantiqiy o‘zining bir qismi sifatida butunlayiga o‘z ichiga oladigan predikatlar mantiqidir.