Предикат тушунчаси

9.3 Умумийлик ва мавжудлик кванторлари
Умумийлик квантори. Мавжудлик квантори. Кванторли амаллар билан конъюнкция ва дизъюнкция амаллари уртасидаги муносабат.
 тупламда аникланган  предикат берилган булсин. Агар ни  предикатнинг  аргументи урнига куйсак, у холда бу предикат  мулохазага айланади.
Предикатлар мантикида яна иккита амал мавжудки, улар бир жойли предикатни мулохазага айлантиради.
2.1.Умумийлик квантори.  тупламда аникланган  предикат берилган булсин. Хар кандай  учун  чин ва акс холда ёлгон киймат кабул килувчи мулохаза ифодасини  формада ёзамиз. Бу мулохаза энди  га боглик булмай колади ва у куйидагича укилади: «Хар кандай  учун  чин».  символ умумийлик квантори деб айтилади. Айтилган фикрларни математик тилда куйидагича ёзиш мумкин:

 предикатда  ни эркин (озод) узгарувчи ва  мулохазада  ни умумийлик квантори  билан богланган узгарувчи деб айтилади.
2.2.Мавжудлик квантори.  предикат  тупламда аникланган булсин. Хеч булмаганда бирорта  учун  предикат чин ва акс холда ёлгон киймат кабул килувчи мулохаза ифодасини  шаклда ёзамиз. Бу мулохаза  га боглик эмас ва уни куйидагича укиш мумкин: «Шундай  мавжудки, », яъни

 cимвол мавжудлик квантори деб аталади.  мулохазада  узгарувчи  квантори билан богланган булади.
Масалан,  натурал сонлар тупламида  предикат берилган булсин: « - туб сон». Кванторлардан фойдаланиб ушбу предикатдан куйидаги мулохазаларни хосил килиш мумкин:  - «Хамма натурал сонлар туб сонлар булади»;  - «Шундай натурал сон мавжудки, у туб сон булади». Равшанки, биринчи мулохаза ёлгон ва иккинчи мулохаза чин булади.
Маълумки,  мулохаза факат  айнан чин предикат булгандагина чин киймат кабул килади.  мулохаза булса,  айнан ёлгон предикат булгандагина ёлгон киймат кабул килади.
Кванторли амаллар куп жойли предикатларга хам кулланилади. Масалан,  тупламда икки жойли  предикат берилган булсин. Агар  предикатга  узгарувчи буйича кванторли амалларни кулласак, у холда икки жойли  предикатга бир жойли  (ёки бир жойли ) предикатни мос килиб куяди.
Бир жойли ( ) предикат факат  узгарувчига боглик ва  узгарувчига боглик эмас булади. Уларга  буйича кванторли амалларни куллаганимизда куйидаги мулохазаларга эга буламиз:
, , , .
Масалан, тугри чизиклар тупламида аникланган : « » предикатни курайлик. Агар  предикатга нисбатан кванторли амалларни тадбик этсак, у холда куйидаги саккизта мулохазага эга буламиз:
1. - «Хар кандай  тугри чизик хар кандай  тугри чизикка перпендикуляр».
2. - «Шундай  тугри чизик мавжудки, у хар кандай  тугри чизикка перпендикулярдир».
3. - «Хар кандай  тугри чизик учун шундай  тугри чизик мавжудки,  тугри чизиги  тугри чизикка перпендикуляр».
4. - «Шундай  тугри чизик ва шундай  тугри чизик мавжудки,  тугри чизик  тугри чизикка перпендикуляр».
5. - «Хар кандай  тугри чизик хар кандай  тугри чизиккга перпендикуляр».
6. - «Хар кандай  тугри чизик учун шундай  тугри чизик мавжудки,  тугри чизик  тугри чизиккга перпендикуляр».
7. - «Шундай  тугри чизик ва шундай  тугри чизик мавжудки,  тугри чизик  тугри чизикка перпендикуляр».
8. - «Шундай  тугри чизик мавжудки, у хар кандай  тугри чизикка перпендикуляр».
Бу мисоллардан куриниб турибдики, умумий холда кванторлар тартиби узгариши билан мулохазанинг мазмуни ва демак, унинг мантикий киймати хам узгаради.
Чекли сон элементлари булган  тупламда аникланган  предикат берилган булсин. Агар  предикат айнан чин булса, у вактда  мулохазалар хам чин булади. Шу холда  мулохаза ва  конъюнкция хам чин буладилар.
Агар хеч булмаганда бирорта  элемент учун  ёлгон булса, у холда  мулохаза ва  конъюнкция хам ёлгон булади.
Демак,
=
тенгкучли ифода тугри булади.
Юкоридагидек фикр юритиш йули билан

тенгкучли ифоданинг мавжудлигини курсатиш мумкин.
Бу ердан кванторли амалларни чексиз сохаларда конъюнкция ва дизъюнкция амалларининг умумлашмаси сифатида караш мумкинлиги келиб чикади.