Практикум по статистике. (2 издание). Тащкент изд. «Iqtisod-moliya»

misol. 1-misolda keltirilgan ma’lumotlarga asosan korrelyatsiya koeffitsyentini yuqoridagi formulalar yordamida hisoblang.

Yechish: Korrelyatsiya koeffitsyentini yuqoridagi formulalar bilan hisoblash uchun quyidagi yordamchi hisob-kitoblarni bajaramiz:

xy  ^{ xy}  ¹²¹⁸  121,8 ; x  ^{ x}  ¹²⁵  12,5; y  ^{ y}  ⁸⁰  8;

n 10

n 10

n 10

x² 

_{ x}2

n

_ 1961

10

 196,1;

y ² 

_{ y} 2

n

_ 770

10

 77;

 _x  

  6,31;

 _y 

   3,6;

Demak, korrelyatsiya koeffitsyenti teng:

_{r } xy  x  y _ 121,8 12,5  8 _ 21,8 <sub> 0,96;

r  </sub>(x  x)( y  y) _{ 218  0,96;}

 _x _y

6,3  3,6

22,7

n _x _y

10  6,3  3,6

_{r  } 1218  (125  80) :10 _{ 0,96;}


r  a ^{ x}  0,547 ^6,31  0,96.

y
1 3,6
Bog’lanishning zichligini o’rganishda korrelyatsion nisbat, determinatsiya koeffitsyenti, korrelyatsiya indeksi ko’rsatkichlardan ham foydalaniladi.

Korrelyatsion nisbat quyidagi formula bilan aniqlanadi:

,
_ 2

bu yerda:

_{2 }( y_x




_{yx n}
 y)²

_{ } y_x



y

- guruhlararo dispersiya,

( y  y)²

y
 ² 

. - umumiy dispersiya.

n

Korrelyatsion nisbat qanchalik 1 ga yaqinlashsa bog’liqlik kuchli va 0 ga yaqinlashsa kuchsiz bo’ladi.

Determintsiya koeffisiyenti

_ 2


_{D } y_x

y

formula bilan, korrelyatsiya indeksi esa

R  formula bilan aniqlanadi.

bu yerda:



2y y<sub>x

 </sub>( y  y_x )


2

n

. -qoldiq dispersiya.

2. 
   misol. 1- misolda keltirilgan ma’lumotlarga asosan korrelyatsion nisbat, determinatsiya koeffisiyenti va korrelyatsiya indeksini hisoblang.
   

Yechish. Korrelyatsion nisbat, determinatsiya koeffisiyenti va korrelyatsiya indeksini hisoblash uchun avvalo berilgan omil va natijaviy belgilar bog’liqligini hamda uni shaklini aniqlash lozim. 1-misolning yYechimida korrelyatsion bog’lanish aniqlangan va u quyidagi regressiya tenglamasi bilan ifodalangan:

_yx  1,16  0,547x .

Korrelyatsion nisbat, determinatsiya koeffisiyenti va korrelyatsiya indeksini hisoblash uchun quyidagi ishchi jadvalni tuzamiz:

Korrelyatsion nisbat, determinatsiya koeffisiyenti va korrelyatsiya indeksini hisob-kitobi

t/r	Ishlab chiqarilgan mahsulot, ming dona.(x)	Sarf qilingan yoqilg’i, tonna (u)	ux=1,16+0,547·x	yx  y	( y  y)^2 x	y  y	( y  y)^2	y  yx	( y  y )^2 x
1	5	4	3,90	-4,10	16,81	-4	16	0,10	0,01
2	6	4	4,40	-3,60	13,00	-4	16	-0,40	0,16
3	8	6	5,50	-2,50	6,25	-2	4	0,50	0,25
4	8	5	5,50	-2,50	6,25	-3	9	-0,50	0,25
5	10	7	6,60	-1,40	2,00	-1	1	0,40	0,16
6	10	8	6,60	-1,40	2,00	0	0	1,40	1,96
7	14	8	8,80	0,80	0,64	0	0	-0,80	0,64
8	20	10	12,10	4,10	16,81	2	4	-2,10	4,41
9	20	12	12,10	4,10	16,81	4	16	-0,10	0,01
10	24	16	14,30	6,30	39,69	8	64	1,70	2,89
∑	125	80	80	-	120,26	-	130,0	-	10,74

Korrelyatsion nisbat teng:

    0,96.

Determintsiya koeffisiyenti teng:
_ 2

2


D  ^yx 

y
12,026

13

 0,93.

Korrelyatsiya indeksi teng:

R  

  

 0,96.

Statistikada o’zaro bog’lanishlar kuchini aniqlashning yana bir nechta usullarini keltirish mumkin.

Statistikada o’zaro bog’lanishlar kuchini aniqlash usullari

t/r	Ko’rsatkichlar	Hisoblash tartibi	Izohlar
1	G.B.Fexner koeffitsyenti	F  M  H ^k M  H	M-bir xil ishoradagi (mos kelgan) juft chetlanishlar (x va u ning dan chetlanishi); H-har xil ishoradagi (mos kelmagan) chetlanishlar
2	K.Spirmen koeffitsyenti	6d ^2 P  1  n(n^2 1)	d-omil va natijaviy belgi ranglari o’rtasidagi chetlanish (d  X  Y ); -hadlar soni.
3	M.Kendel koeffitsyenti	r  2 S n(n 1)	S=Q-P bu yerda Q - u bo’yicha ijobiy natijalar, ya’ni undan katta keyingi hadlar soni; P-salbiy natijalar u dan keyingi kichik hadlar soni.
4	D.Yulning assotsiatsiya koeffitsyenti	A  ad  bc ad  bc	Ikkala formuladagi a,b,c,d- vaznlar, ular jadvalda quyidagicha joylashadi.
5	K.Pirsonning kontingentsiya koeffitsyenti	ad  bc K  (a  b)(b  d )(a  c)(c  d )

2. 
   

   a	b
   c	d

   
   
   
   misol. Oilada farzandlar bo’ylarining uzunliklari va ularning ota-onalari bo’ylarining o’rtacha uzunligi bo’yicha quyidagi ma’lumotlar berilgan:
   

t/r	Ota-onalar bo’ylarining o’rtacha uzunligi, sm	Oiladagi farzandlar bo’yi, sm
1.	170	163
2.	165	162
3.	177	168
4.	180	170
5.	181	164
6.	175	162
7.	172	165
8	180	168

Ma’lumotlar asosida ota-onalar va farzandlar bo’ylari o’rtasidagi bog’liqlik zichligini G.B.Fexner koeffitsyenti bo’yicha aniqlang.

Yechish. Fixner koeffitsyenti quyidagicha hisoblanadi:

_{F } M  H _.

^k M  H

Formuladagi M va N qiymatlarni aniqlash uchun quyidagi jadvalni keltiramiz:

t/r	Ota-onalar bo’ylarining o’rtacha uzunligi, sm (x)	Oiladagi farzandlar bo’yi, sm ( u)	O’rtachadan chetlanish ishoralari
			x	u
1	170	163	-	-
2	165	162	-	-
3	177	168	+	+
4	180	170	+	+
5	181	164	+	-
6	175	162	+	-
7	172	165	-	-
8	180	168	+	+
-

Jadval ma’lumotlaridan ko’rinib turibdiki ota-onalar o’rtacha bo’ylari va farzandlarning bo’ylari bo’yicha 6 tasida ishoralar mos kelgan. U holda, M=6, N=2 ga teng.

_{F } M  H

^k M  H

 ^{6  2}  0,5

6  2

Ota-onalar o’rtacha bo’ylari va farzandlar bo’ylari uzunliklari o’rtasidagi o’zaro bog’lanish kuchi o’rtamiyona bo’lib, bog’lanish chiziqli ko’rinishga ega.

2. 
   misol. O’nta kichik korxonaning asosiy ishlab chiqarish fondlari qiymati va ishlab chiqarilgan mahsuloti to’g’risida quyidagi ma’lumotlar keltirilgan:
   

Ishlab chiqarish fondlari qiymati, mln so’m	1,5	1,8	2,0	2,2	2,3	2,6	3,0	3,1	3,5	3,8
Ishlab chiqarilgan mahsulot. mln so’m	3,9	4,4	3,8	3,5	4,8	4,3	7,0	6,5	6,1	8,2

Yuqorida keltirilgan ma’lumotlar asosida ishlab chiqarish fondlari qiymati va ishlab chiqarilgan mahsulot o’rtasidagi bog’liqlik zichligini K.Spirmen va M.Kendel koeffitsyenti bo’yicha aniqlang.
Yechish. K.Spirmen va M.Kendel koeffitsyentlari quyidagi ketma-ketlikda hisoblanadi:

1. 
   x va u birliklarda ranjirlangan X va U qatorlar tuziladi;
   
2. 
   x birliklari o’sib borish yoki kamayish tartibida yoziladi;
   
3. 
   u birliklari ranglar bo’yicha yozib chiqiladi;
   
4. 
   d = X - Y farq hisoblanadi;
   
5. 
   ranglar kvadrati yig’indisi - hisoblanadi;
   

6_d ²

6. 
   K. Spirmen koeffitsyenti
   

P  1 

n(n² 1)

bo’yicha aniqlanadi;

7. 
   U bo’yicha ijobiy natija (R)va salbiy natijalar (Q) aniqlanadi;
   
8. 
   olingan natijalar bo’yicha S=P-Q xisoblanadi.
   

K.Spirmen va M.Kendel koeffitsyentlarini mos ravishda quyidagi formulalar orqali hisoblaymiz:

P  1 

6 d ²





,n(n² 1)

r  ^{2 S} .

n(n 1)

Ma’lumotlarni jadvalga joylashtiramiz:

Spirmen va Kindel koeffitsiyentlarini hisoblash

x	u	X	U	d=X - U		P	Q
1,5	3,9	1	3	-2	4	7	2
1,8	4,4	2	5	-3	9	5	3
2,0	3,8	3	2	1	1	6	1
2,2	3,5	4	1	3	9	6	0
2,3	4,8	5	6	-1	1	4	1
2,6	4,3	6	4	2	4	4	0
3,0	7,0	7	9	-2	4	1	2
3,1	6,5	8	8	0	0	1	1
3,5	6,1	9	7	2	4	1	0
3,8	8,2	10	10	0	0	-	-
Σ						35	10

P  1 

6_d ²

n(n² 1)

 1 

6  36

10  99

 0,78

Spirmeni koeffitsyenti bo’yicha xulosa shuki, ishlab chiqarish fondlari qiymati va ishlab chiqarilgan mahsulot o’rtasida to’g’ri chiziqli kuchli bog’lanish mavjud.

_{r } 2_S

n(n 1)

 ^{2  25}  0,56

10  9

Kendel koeffitsyenti hamma vaqt Spirmeni koeffitsyenti bilan quyidagicha munosabatda bo’ladi,

r  ² P .

3


Yuqorida tuzilgan regressiya tenglamalari iqtisodiy jarayonlarning modeli deyiladi va ular qanchalik jarayonni to’g’ri akslantirishini approksimatsiyaning

o’rtacha xatoligi,

oshmasligi kerak.

A  ¹

n

100% , bilan baholanadi. A ning qiymati 8-10%dan

5. 
   misol ma’lumotlariga asosan approksimatsiyaning o’rtacha xatoligi
   

A  ¹

10

 0,96 100%  0,096 100%  9,6% . Demak 1-misol uchun

y_x  1,16  0,547x

model to’g’ri tanlangan.