Практикум по дисциплине «теория автоматического управления» для студентов направлений 550200, 651900 «Автоматизация и управление»

Лабораторная работа №12

Синтез оптимальной по быстродействию
замкнутой системы

Синтезировать оптимальную по быстродействию линейную систему означает определить такое допустимое управление u(t), которое приводит систему из начального состояния x(0) в требуемое равновесное состояние x(T)=0 и минимизирует при этом время перехода T.
Для системы второго порядка с ограниченным управлением
(12.1)
оптимальное управление согласно принципу максимума Понтрягина достигается при
(12.2)
где вспомогательная функция удовлетворяет уравнению
(12.3)
Задача синтеза оптимального управления была бы решена полностью, если бы была известна (t). Однако начальное условие (0) неизвестно. В некоторых случаях можно утверждать, что функция (t) меняет знак не более одного раза. Следовательно, оптимальное управление имеет не более одного переключения. Зная это, можно синтезировать оптимальное управление методом фазовой плоскости.
Например, для системы
(12.4)
уравнения фазовых траекторий при :
, (12.5)
а при :
, (12.6)
где С₁ и С₂ – постоянные интегрирования. Движение должно завершиться в начале координат, поэтому участки фазовых траекторий L⁺ и L^–, проходящие через начало координат (рис. 21.1, а, б), будут составлять линию переключения L, уравнение которой
. (12.7)
Движение из произвольной точки (рис. 12.1, в) проходит по параболе, направленной по управляющему сигналу +1 или –1.

Рис. 12.1.Фазовые траектории движения системы при различных управлениях.
При достижении линии переключения L управление должно поменять знак, тогда последующее движение будет совершаться по фазовой траектории L⁺ или L^– в начало координат. Можно доказать, что достигнутое при таком управлении время движения является минимальным из всех возможных.
Регулятор замкнутой оптимальной системы определяет взаимное расположение текущего состояния системы относительно линии переключения и текущее значение оптимального управления. Уравнение регулятора для рассмотренного примера
. (12.8)
Оптимальные системы управления являются идеальными в том смысле, что невозможно точно воспроизвести в реальной системе расчетные характеристики всех компонентов, модель объекта лишь ограниченно адекватна, а поэтому аналитический расчет линии переключения ограниченно точен; нелинейная характеристика, воспроизводящая линию переключения, не может быть точно сформирована. Эти и подобные причины приводят к потерям во времени, к появлению скользящих режимов, автоколебаний. Все вышеуказанные явления делают систему квазиоптимальной.