Практическая работа №1 Тема: Законы Эрланга и Пирсона. Еркинов н группа: 516-19 Ташкент 2021 г

Рис.1.1. График плотности распределения равномерного закона

Для интегральной функции распределения в соответствии с формулой взаимосвязи функции и плотности распределения, можно записать:

О кончательно с учётом свойств интегральной функции распределения для получим формулу
(1.2)

График функции распре­деления представлен на рис. 2.

Из формул (1) и (2) следует, что равномерное распределение является двухпараметрическим законом распределения, так как плотность и функция распределения определяются двумя параметрами «a» и «b», ограничивающими нижюю и верхнюю границу области возможных значений случайной величины.

Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей равномерное распределение:


(1.3)

Из формулы (3) следует, что при равномерном распределении математическое ожидание случайной величины равно середине интервала, определяющего область её возможных значений.

Найдём дисперсию по формуле:

П осле разложения разности кубов на сомножители и вычитания дробей для дисперсии получим:
(1.4)
С реднеквадратичное отклонение равномерно распределённой случайной величины будет равно:
(1.5)
Замечание. Обозначим че­рез R непрерывную случайную ве­личину, распределенную равномер­но в интервале (0, 1), а через r — ее возможные значения. Ве­роятность попадания величины R (в результате испытания) в интервал (с, d), принадлежащий интер­валу (0, 1), равна его длине:

Действительно, плотность рассматриваемого равномерного рас­пределения

Следовательно, вероятность попадания случайной величины R в ин­тервал (с, d) (см. Лекцию 2.8)

1. 
   Распределение Эрланга
   

Р аспределение Эрланга является двухпараметрическим законом распределения, используемым для вероятностного задания положи­тельных непрерывных случайных величин, что свойственно значительному большинству вероятностных задач. Плотность вероятности случайной величины, имеющей распределение Эрланга, определяется формулой

(2.1)
Как следует из формулы (2.1), плотность вероятности зависит от значения двух параметров k и λ. Параметр k называют порядком распределения Эрланга, и он может иметь целочисленные значения k = 0, 1,2,...
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, име­ющей распределение Эрланга, определяется формулами:

(2.2)

Получим функцию распределения F(x) для случайной величины, имеющей распределение Эрланга первого порядка k = 1. Подставляя формулу (2.1) в формулу взаимосвязи функции и плотности распределения, для F(x) получим:

(2.3)
Используем метод интегрирования по частям. Для этого введем обозначения:

Отсюда

В соответствии с принятыми обозначениями получим:

(2.4)
Формула (2.4) позволяет легко определить вероятность попадания в заданный интервал непрерывной случайной величины, имеющей распределение Эрланга первого порядка.

Графики плотности вероятности распределения Эрланга нулевого k = 0, первого k = 1 и второго порядка k = 2 при λ = 2 приведены на Рис.2.1 а), а графики функции распределения на Рис.2.2 b).



f(x)

Рис.2.1а) Графики плотности вероятности распределения Эрланга

Рис.2.1b) Графики функции распределения Эрланга

При более высоком порядке распределения Эрланга формула для функции распределения получается более сложной и в лекции не рассматривается.

3. Показательный (экспоненциальный) закон распределения.

Показательное распределение является частным случаем распределения Эрланга при k = 0.
Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной вели­чины X. которое описывается плотностью

(3.1)

где λ – постоянная положительная величина.
Из выражения (3.1), следует, что показательное распределение определяется одним параметром λ.
Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от боль­шего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значе­ния) разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т. д. Примером непрерывной случайной вели­чины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последователь­ных событий простейшего потока.
Найдем функцию распределения показательного закона.

И так

(3.2)
Графики плотности и функции распределения показа­тельного закона изображены на рис. 3.1.

Рис.3.1.Графики плотности и функции распределения показательного закона

Найдем вероятность попадания в интервал (а, b) непрерывной случайной величины X, которая распреде­лена по показательному закону, заданному функцией распределения

Используем известную формулу вычисления вероятности попадания случайной величины в заданный интервал, а именно:

Учитывая, что получим:

( 3.3)
Значения функции можно находить по таблице.

Числовые характеристики показательного распределения

Пусть непрерывная случайная величина Χ рас­пределена по показательному закону

Найдем математическое ожидание, используя формулу её вычисления для непрерывной случайной величины:

И нтегрируя по частям, получим

(3.4)
Таким образом, математическое ожидание показатель­ного распределения равно обратной величине параметра λ.
Найдем дисперсию, используя формулу её вычисления для непрерывной случайной величины:

Интегрируя по частям, получим

С ледовательно:

(3.5)
Н айдем среднее квадратическое отклонение, для чего извлечем квадратный корень из дисперсии:
(3.6)
Сравнивая (3.4), (3.5) и (3.6), видно, что
( 3.7)
т. е. математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.
Показательное распределение широко применяется в различных приложениях финансовых и технических задач, например, в теории надежности.
4.Критерий Хи-Квадрат Пирсона
Критерий χ² Пирсона – это непараметрический метод, который позволяет оценить значимость различий между фактическим (выявленным в результате исследования) количеством исходов или качественных характеристик выборки, попадающих в каждую категорию, и теоретическим количеством, которое можно ожидать в изучаемых группах при справедливости нулевой гипотезы. Выражаясь проще, метод позволяет оценить статистическую значимость различий двух или нескольких относительных показателей (частот, долей).

4.1. История разработки критерия χ²

Критерий хи-квадрат для анализа таблиц сопряженности был разработан и предложен в 1900 году английским математиком, статистиком, биологом и философом, основателем математической статистики и одним из основоположников биометрики Карлом Пирсоном (1857-1936).

4.2. Для чего используется критерий χ² Пирсона?

Критерий хи-квадрат может применяться при анализе таблиц сопряженности, содержащих сведения о частоте исходов в зависимости от наличия фактора риска. Например, четырехпольная таблица сопряженности выглядит следующим образом:

Как заполнить такую таблицу сопряженности? Рассмотрим небольшой пример.
Проводится исследование влияния курения на риск развития артериальной гипертонии. Для этого были отобраны две группы исследуемых - в первую вошли 70 человек, ежедневно выкуривающих не менее 1 пачки сигарет, во вторую - 80 некурящих такого же возраста. В первой группе у 40 человек отмечалось повышенное артериальное давление. Во второй - артериальная гипертония наблюдалась у 32 человек. Соответственно, нормальное артериальное давление в группе курильщиков было у 30 человек (70 - 40 = 30) а в группе некурящих - у 48 (80 - 32 = 48).
Заполняем исходными данными четырехпольную таблицу сопряженности:

В полученной таблице сопряженности каждая строчка соответствует определенной группе исследуемых. Столбцы - показывают число лиц с артериальной гипертонией или с нормальным артериальным давлением.

Задача, которая ставится перед исследователем: имеются ли статистически значимые различия между частотой лиц с артериальным давлением среди курящих и некурящих? Ответить на этот вопрос можно, рассчитав критерий хи-квадрат Пирсона и сравнив получившееся значение с критическим.