Повышение надежности и долговечности машин и механизмов 1 федеральное государственное бюджетное

Актуальные проблемы расчета и конструирования машин и механизмов. Моделирование,
управление, автоматизация проектирования механических систем 
________________________________________________________________________________ 
181 
Параметры функции 
S
– 
2
1
0
,
,
a
a
a
- являются независимыми переменными, по-
этому минимум данной функции определим, приравнивая частные производных ну-
лю:
0
0



a
S
,
0
1



a
S
,
0
2



a
S
, что приводит к следующим уравнениям относительно 
коэффициентов. С учетом данных таблицы 1, были составлены уравнения для расчета 
коэффициентов функции
 φ(x)
. 














.
04
.
5
26
.
7
79
.
5
98
.
4
74
.
4
79
.
5
98
.
4
999
.
4
78
.
5
98
.
4
999
.
4
8
2
1
0
2
1
0
2
1
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
(3) 
В результате решения системы уравнений (3) для коэффициентов были получе-
ны значения 
6243
.
0
;
5084
.
1
;
1685
.
0
2
1
0




a
a
a
.
Получалась аппроксимирующая функция 
 φ(x)
=0.1685+1.5084
x
– 0.6243
x
2
. Под-
ставляя в данную функцию 
x
i 
, были вычислены значения отклика 
y
i
и проведены 
сравнения с исходными данными (таблица 2). Оценивая относительные погрешности

δy= 
(
φ(x)-y)/y
в заданных узлах 
x
i 
, представлялись результаты в виде табл. 2.
Таблица 2.
Результаты вычислений
x
 
φ(x) 
y 
δy
 
0.182 
0.422 
0.700 
-0.396 
0.257 
0.514 
0.460 
0.119 
0.366 
0.636 
0.640 
-0.004 
0.664 
0.894 
0.920 
-0.027 
0.910 
1.012 
0.944 
0.072 
1.160 
1.078 
1.012 
0.065 
1.460 
1.040 
1.104 
-0.057 
Опытные данные могут содержать случайные ошибки или даже промахи. Пер-
вый отклик в табл. 2, равный 0.700, скорее всего, является результатом случайной 
ошибки. 
В случаях значительного разброса экспериментальных данных целесообразно 
провести сглаживание данных. Метод наименьших квадратов также применим с этой 
целью.
Целесообразно предложить студентам продолжить исследования с помощью 
линейной и кубической аппроксимаций, с тем, чтобы оценить наиболее приближен-
ную к исходным данным функцию, приведенные на рис. 2.
Для линейной и кубической зависимостей, были получены функции 
x
x
6076
.
0
3435
.
0
)
(
1



и 
3
3
9085
.
0
6191
.
2
6080
.
2
0659
.
0
)
(
2
x
x
x
x





, соот-
ветственно, показанные на рис. 2. Расчет относительной погрешности для линейной и 
кубической зависимостей показал, что наилучшее приближение к эксперименталь-
ным данным демонстрирует кубическая зависимость.

---

НАДЕЖНОСТЬ И ДОЛГОВЕЧНОСТЬ МАШИН И МЕХАНИЗМОВ 
________________________________________________________________________________ 
182 
Рис. 2. 
Линейная - 1, квадратичная - 2, кубическая – 3 - аппроксимирующие функции.
Точками отмечены заданные табличные значения функции 
Студенты не только знакомятся с конкретными подъемно-транспортными ма-
шинами, но и осваивают моделирование аппроксимирующими функциями, проводя 
небольшую исследовательскую работу по подбору наилучшего варианта.